高等數學

這個立體是個曲頂柱體，底面是xoy坐標面，然後圍上壹個圓柱面x^2+y^2=Rx，最上面再罩上個開口向上的圓錐面z=√(x^2+y^2)。立體在xoy坐標面上的投影區域是D:x^2+y^2≤Rx，z的範圍是0到√(x^2+y^2)。三重積分用柱面坐標系，在平面極坐標系下，D表示為θ從-π/2到π/2，r的範圍是0到Rcosθ。

體積V=∫∫∫dv=∫(-π/2到π/2)dθ∫(0到Rcosθ)dr∫(0到r)rdz=∫(-π/2到π/2)dθ∫(0到Rcosθ)r^2dr=1/3×R^3∫(-π/2到π/2) (cosθ)^3dθ=2/3×R^3∫(0到π/2) [1-(sinθ)^2]dsinθ=2/3×R^3×2/3=4R^3/9。