「另壹方面，壹個數字的立方不可能表示成兩個立方數的和，壹個四次方數也不能表示成兩個四次方數的和；或者更概括性地說，除了平方之外，壹個 n 次方數不能表示成兩個 n 次方數的和（Xn＋Yn＝Zn）。我已經為這個命題找到了壹個非常美妙的證明，然而這裏的篇幅不足以讓我寫下這個證明。」
就是這個神秘兮兮的宣示，讓往後幾個世代的無數數學家，忙於提供這個被費馬稱之為「美妙的證明」。表面上，Xn＋Yn＝Zn 在n≥3時沒有整數解，這個敘述看起來很簡單，但絕不容小覷。費馬所說的其他定理，全都已在19世紀初葉左右被證明或推翻了。只有這個看似簡單的敘述，依然沒有人搞定，也因此被冠上了「費馬最後定理」的名字。究竟這個定理是不是真的呢？本世紀有人試圖用電腦來驗證這個定理；基本上電腦可以驗算到相當大的數字，但仍無法驗算所有數字，這便是困境之所在。即便這個定理對幾十億個數字而言是成立，但在幾十億的後面，仍有無窮多的數字以及次方需要驗證。所以要宣稱這個定理有效，就需要壹個數學上的證明。19世紀時，法國與德國的科學院都提供了巨額的獎賞，徵求這個定理的證明。而每年也都有成千上萬的專業及業余數學家，寄來千奇百怪的「證明」方法到數學期刊及評議會，但結果都是無功而返。
．1993年7－8月：致命的漏洞
當懷爾斯在6月的那個星期三步下講臺時，數學家均抱持審慎的樂觀態度。350年的謎團，似乎終於被破解了。懷爾斯所用的理論及符號，有許多是費馬時代從未聽聞的，有些甚至到20世紀才出現。這些理論尚需經過專家認證，因此證明便被送到許多頂尖數學家手中。也許懷爾斯 7 年來的隱居苦幹終於可以得到回報。但這種樂觀現象並未持續多久，數周內，懷爾斯的邏輯即被找出了漏洞，他試圖彌補，但都徒勞無功。普林斯頓數學家彼得．薩納克（Peter Sarnak）看著摯友懷爾斯鎮日痛苦地面對自己在兩個月前於劍橋向全世界發表的證明，他解釋道：「看起來，懷爾斯像是想把壹塊超大的地毯鋪在房間的地板上。鋪好了這壹邊，房間另壹邊的地毯會卷貼上墻壁；到了另壹頭，把地毯拉回地面，房中某壹處的地毯又會拱起來。而這塊毯子到底是否適合這個房間，他根本無法裁決。」懷爾斯再次回到他的閣樓。《紐約時報》以及各大媒體的記者也都暫時不去打攪他，任他孤寂地工作。然後，日子壹天天地過去了，證明始終未現的結果，再度使數學界及壹般大眾開始懷疑，費馬定理究竟是不是真的。懷爾斯向全世界宣示的漂亮證明，就有如費馬那項「非常美妙，但頁邊篇幅無法容納的證明」壹般，是虛無縹渺的。
有這樣壹個數學難題：雖然它看上去很簡單，但是它的難度卻是壹般人難以
想象的；這個難題的盛名遠遠超過了數學界，凡受過教育的人幾乎沒有不知道的
，雖然可能並不了解它的具體內容；在這個難題上取得壹點進展要遠比哥德巴赫
猜想要簡單，許多人在初始涉獵它的時候都能夠輕松的作出壹些成就，然而要想
完全證明它確是幾乎不可能的。
這個數學難題在300多年前被提出，吸引了無數的數學家窮盡畢生精力去設法
獲取對它的證明。前西德 的哥廷根大學數學研究所特地為它於1908年設立了沃爾
夫基爾（Wolfskell）獎。雖然對此獎的申請論文有許多嚴格的規定，但是在相當
長的時間裏該研究所還是會平均每周就收到壹篇應征論文。而這比設立獎項的第
壹年已經要好多了，那壹年壹***收到了621份申請！盡管在本世紀的最後壹個十年
中終於有人給出了對這道數學難題的完整證明，但是人類為它而耗費的三個半世
紀的時間卻使它成為了數學史上的壹個傳奇。
--這道數學難題就是費馬最後定理（亦稱費馬大定理）。沒有人會想象出，
這個問題的起源卻只是潦草寫在壹本書的頁邊空白處的壹小段話！
費馬其人
皮埃爾·戴·費馬（Pierre de Fermat）1601年出生在法國。當他於1665年
1月12日去世時，是當時歐洲最著名的數學家。但是從他的壹生來看，他並非是以
數學為生的職業數學家，他的職業是律師兼土倫地方的推事，即負責審理案件的
官員。當他在30歲獲得了這個法學職位之後，開始在業余時間裏研究數學。雖然
費馬過去並沒有受過專業的數學培訓，但是他很快就嶄露了他的數學天賦，在其
短暫的數學經歷中為整個數學史增添了極為燦爛的壹頁。在今天，他的名字常跟
數論為伴，然而由於他在這壹領域的大部分工作超前了時代，致使他的同代人更
多了解的是他獨立於笛卡爾（Descartes）發明的坐標幾何、經過牛頓和萊布尼茨
（Leibniz）等人為世人所註目的無窮小演算以及由他和帕斯卡（Pascal）創立的
概率論。費馬所生活的時代，聚集了壹批數學巨匠，如笛卡兒、帕斯卡等等。費
馬與他們之間保持了廣泛的通信聯系，經常與他們就某些數學問題互相交流。但
是也僅限於此，費馬在他的整個數學生涯之中，幾乎從來沒有發表過任何數學作
品，然而這卻並沒有遮掩這些成就耀眼的光芒。僅僅把數學當作業余愛好的費馬
，憑著他輝煌的數學成果戴上了"業余數學家王子"的桂冠。
約公元3世紀，古希臘學者丟番圖寫出了他最為主要的代表作之壹--《算術》
。這是第壹本見諸於文字的代數書，書中有關兩個或多個變量的整系數方程的有
理數解問題，是較為重要的壹部分。今天數學家們在研究類似問題時壹般只限求
於其整數解。事實上，在這壹問題上，有理數與整數的概念並無大的差異。因為
例如方程2X＋3Y＝0的壹組解（X＝1／2，Y＝－1／3）與它的另壹組解（X＝3
，Y＝－2）並沒有多大區別。只要將第壹組解乘以它們分母的最小公倍數6，就
可以得到第二組解。所以在很多時候我們對此類問題的研究只限定於求整數解。
15世紀中葉，戰亂使君士坦丁堡落入了土耳其人的手中。為求得安寧，大批
拜占庭的學者逃往西方，同時帶去了許多希臘學者的學術著作，這其中就有這本
《算術》。但是由於語言上以及其它壹些原因，當初並沒有人註意到它。壹直到
1621年，克勞德·巴希特（Claude Bachet）出版了加有拉丁文譯文、註釋和評論
的新版算術，才使得歐洲數學家註意到了這本書。費馬，就是其中壹位對此產生
濃厚興趣的學者。
在讀這本書的時候，費馬常常習慣於在書頁的空白處隨手寫下壹些簡要的註
釋。壹直到他去世後的第五年，他的兒子薩穆爾（Samuel）在收集整理父親的筆
記和信件準備出版的時候，發現了他們。其中，在丟番圖的第八問題"給定壹個平
方數，將其寫成其他兩個平方數之和"的旁邊，費馬用拉丁文寫道：
"另壹方面，不可能將壹個立方數寫成兩個立方數之只和，或者將壹個數的四
次方數寫成其它兩個四次方數之和。總的來說，對於任何壹個數，只要它的冪指
數大於2，就不可能寫成其它兩個同等冪指數的數之和。對於這個命題，我得到了
壹個非常奇妙的證明方法，但是這裏的空白太小，我無法將它們寫下來。"
用數學式來表示，丟番圖第八問題即為：X2＋Y2＝Z2有正整數解（前面已
經說過，此類問題只需求正整數解即可）。
而費馬認為，對於方程X3＋Y3＝Z3以及X4＋Y4＝Z4無正整數解。在此
基礎上，費馬推斷出，對於方程Xn＋Yn＝Zn（n≥3）沒有正整數解。
於是，費馬最後定理似乎帶著壹絲神秘的色彩出現了。與哥德巴赫猜想不壹
樣是，費馬最後定理自從它壹出現就被給予了"定理"的稱呼，盡管在此後的300多
年時間裏壹直沒有人能得到費馬已經想到卻僅僅因為"空白太小"而無法記錄下來
的證明，也壹直有人懷疑費馬本人是否真的得到了這壹命題的證明，但是卻從來
沒有人懷疑過這個定理的正確性。這個定理為什麽會被稱為是"最後定理"呢？也
無從考證。從人們所知道的壹些資料可以斷定，這段註釋應該是費馬在17世紀30
年代的某壹天所寫的。這絕對不是費馬的數學生涯中所得到的最後壹個數學結論
。於是，更多的人相信，這個"最後定理"得名的原因是，它是費馬所留下的眾多
數學定理中最後壹個留待證明的！
從畢達哥拉斯數開始
有壹個中國人非常熟悉的數學定理叫做"勾股定理"，而"勾三股四弦五"的簡單解
釋則更是許多孩子們在學習數學時能脫口而出的。實際上，丟番圖第八問題所說
的"給定壹個平方數，將其寫成其他兩個平方數之和"就是對行如：X2＋Y2＝Z
2的方程求解的研究。這個方程的壹組解（X、Y、Z）就是壹組勾股數。同樣的
定理在西方被稱為"畢達哥拉斯（Pythagoras）定理，勾股數也就是畢達哥拉斯數
。（由於費馬定理是西方數學界提出的，在這裏我們對它做研究時就用西方的稱
呼。）壹旦我們得到壹組畢達哥拉斯數，我們就可以得到無數組其它的畢達哥拉
斯數，妳只要用不同的系數去乘以這壹組解就可以了。例如用2乘以3，4，5得到
6，8，10，這也是壹組畢達哥拉斯數，因為62＋82＝102簡單的，我們由32＋42＝
52可以推導出32×m2＋42×m2＝52×m2，即（3m）2＋（4m）2＝（5m）2而
在公元前約350年～300年歐幾裏德所著的《原本》壹書中，已經有了完整求解丟
番圖問題的內容。只要令：X＝s2－t2，Y＝2st，Z＝s2＋t2，其中s，
t是任取的自然數，要求s大於t，並且它們沒有公因子即可。
這個定理對大多數人來說，幾乎沒有任何難度。讓我們再試著邁出壹兩步看
看吧！當n＝4時，方程：X4＋Y4＝Z4有解嗎？在對某壹數學定理求得證明的
過程中，通常人們都會嘗試先用壹些特殊的情況得出部分結論，然後再求得完整
的解答。我們所做的，正是這樣壹種嘗試。數學命題的證明中，大家都知道有壹
種方法叫做反證法，即從命題的反面著手，先假設壹個與命題相反的結論，然後
從假設中演繹出矛盾。壹旦證明了某壹命題的否命題不成立，就可以得出原命題
成立的結論。為此，我們假設當n＝4時，方程X4＋Y4＝Z4有解。根據這組解
的值的特性，我們可以取a＝y4，b＝2x2z2，c＝z4＋x4，d＝y2xz。
接下來，我們反復運用眾所周知的恒等式（r＋s）2＝r2＋2rs＋t2就得到
：
a2＋b2＝（z4－x4）＋4x4z4
＝z8－2x4z4＋x8＋4x4z4
＝（z4＋x4）2
＝c2
並且我們有：
（1／2）ab＝（1／2）y42x2z2＝（y2xz）2＝d2 （1）
現在我們所要證明的，就是式（1）是錯誤的。這裏，我們要使用的另外壹種方法
也是費馬本人創造的，叫做無限遞降法。大家都知道，以壹組畢達哥拉斯三元數
為壹個三角形的三條邊長，可以得到壹個直角三角形，簡稱為畢氏三角形。費馬
證明了：畢氏三角形的面積絕不可能是平方數，即絕非整數的平方。證明如下：
設存在壹個畢氏三角形，其面積恰為某壹整數u的平方。另x、y、z這組
畢氏數是三角形的三條邊長，其中z為斜邊。由畢氏定理可得：x2＋y2＝z2。
那麽，由直角三角形面積公式可以得到
u2＝（1／2）xy （2）
註意，這裏式（2）實質上與式（1）是等同的。費馬另壹種巧妙的論證使我們得
知，必定存在另壹組解X，Y，Z和U，使得：X2＋Y2＝Z2，U2＝（1／2）
XY，並且Z＞z。
至此，我們所需得到的矛盾已經唾手可得了。同理，我們能夠壹直得到無數
組的Xn，Yn，Zn和Un（n＝1，2，3……），而且存在z＞Z＞Z1＞Z
2＞Z3＞……這樣可以無窮遞降的正整數數組。但是事實上是不存在無窮遞降的
正整數數組的。因為當Zn降到1時，它就無法再降了！
於是，我們得出結論，式（2）不成立。這也就是說，式（1）也不成立。這樣，
我們就獲得了當n＝4時對費馬最後定理的證明。壹個簡單的推論使我們可以繼續
邁出壹小步，即對於所有的n＝4k，費馬最後定理都成立。理由為：若方程X4
k＋Y4k＝Z4k有解a，b，c，則ak，bk，ck，將是方程X4＋Y4＝
Z4的壹組解。而我們已經證明了它是無解的。這樣，我們就很輕松的站在費馬的
肩膀上得到了壹種特殊情況下對費馬最後定理的部分證明。
艱辛的探索
回顧上壹節，也許妳會問，為什麽我們不試壹試n＝3的情況呢？然而當妳嘗
試壹下，妳就會明白為什麽了。n＝3時費馬最後定理的求證難度遠遠超過了n＝
4時的情況。
1753年8月4日，歐拉給哥德巴赫寄去了壹封信。信中他宣布已經成功的證明
了n＝3時的費馬最後定理，但是並沒有給出證明。17年後，當歐拉在聖彼得堡出
版他的《代數學導論》時才給出了壹個還是具有嚴重缺陷的證明。所幸的是，對
於n＝3，這壹缺陷尚還不是無可補救的。但是如果試圖用歐拉的方法去繼續給出
其他特殊值的證明，這種錯誤就是致命的了。
歐拉同樣使用了無限遞降法。他為此構造了行如：
的數，其中a，b為整數。接下來歐拉經過壹系列的變換後找到了他所需要的矛
盾，並推出了原命題成立的結論。盡管這個代數變換的過程並沒有什麽錯誤，但
是他最初構造數組的時候已經埋下了禍根。由歐拉構造的數隨a，b的不同取值
形成壹個數系。在證明當中，歐拉理所當然的將整數數系的壹些特性運用到了新
數系中去，而事實上這種類比是不成立的。盡管兩個數系中對於某些特殊值而言
，n＝3就是其中的壹個，確實具有相同的性質，但是卻無法取得壹般情況下的結
論。因此歐拉在給出這壹證明時，更多依靠的是運氣。如果他想要獲得n＝5時的
證明，按照他的方法就得構造出形式更加復雜的數。而這時候，歐拉本人壹定會
意識到自己犯下的錯誤。
現在我們又獲得了費馬最後定理關於另壹個特殊值的證明。讓我們來總結壹
下。如同對n＝4獲證明後所做的推論，我們同樣有：X3k＋Y3k＝Z3k無解
。在這兩個前進了壹步的推論的基礎上，我們可以將費馬最後定理的命題稍微簡
化壹下。我們考慮"算術基本定理"：每壹個大於1的自然數，或者是素數，或者可
表示為若幹素數的乘積，並且這種表示若不計素數排列的次序則是唯壹的。由於
命題中的n≥3，所以n或者能被大於2的素數整除，或者能被4整除（同時被兩者
整除的情況可以歸為其中的任壹類）。這樣，問題就簡化為求解對所有的奇素數
（素數中只有2是偶數）和n＝4的證明。而n＝4是最為簡單的，那麽我們所要做
的，就是對所有的奇素數求證了。
1825年，壹老壹少兩位數學家對n＝5給出了最後定理的證明。他們是70歲的
勒根德爾（Legendre）和20歲的狄利克雷（Dirichlet）。他們延伸了歐拉的方法
，小心翼翼的給出了許多的假設之後，算是成功的獲得了證明。但是隨著n＝5的
解決，所有大家熟知的方法都已經是山窮水盡了。證明對代數工具的要求越來越
苛刻。狄利克雷費盡心思求解n＝7的情況卻未能成功，只是在1832年得到了壹個
相當弱的結論，即費馬最後定理對n＝14成立。1839年，拉梅（Lamé）終於證明
了n＝7的情形。而這時在他的證明中，人們必須求助於壹些與7本身結合的非常
緊密而又十分精妙的數學工具。他把對費馬最後定理的證明推進了壹步，卻又同
時將人類在解決這壹難題的道路上當時發現的所有路徑都封死了。如果不采用新
的方法，根本就沒有希望得出對n＝11的證明。1847年，正是拉梅本人發現了另
外壹條迂回的前進路線。
拉梅建議的核心是試圖利用n次復單位根來壹勞永逸的的解決費馬最後定理。所
謂n次復單位根是指壹個復數r，它滿足rn＝1，但是對於任意小於n的正整數
k，有rk≠1。引進r的目的何在呢？到當時為止所得到的所有對費馬最後定理
證明的幾種情況，無壹例外的運用了代數中的某種因子分解。如對n＝3就利用了
因子分解式：x3＋y3＝（x＋y）（x2－xy＋y2）
拉梅認識到，n增大時證明的難度也增加，其原因在於進行這類因子分解時，被
分解後的因子中有壹個的次數越來越高。而壹旦引進了r，就可能徹底地將xn
＋yn分解成n個因子，它們都是1次的。
1847年3月1日，極度興奮的拉梅向巴黎科學院的成員作報告，宣布他已經完
全證明了費馬最後定理。他利用的正是他所引入的概念r而形成的數--現在被稱
為分圓整數，以及費馬本人所給出的無限遞降法。整個的證明跟歐拉對n＝3時的
論證非常相象。講完他所尋覓到的證明，拉梅向給他建議並促使他最終完成這壹
證明的同事裏奧維爾表示了感謝。然而就在他言畢入座時，正是裏奧維爾指出，
拉梅的證明依賴於唯壹因子分解定理。而據他所知，對於分圓整數並不存在這樣
的定理。
裏奧維爾的發言切中肯綮的指出了拉梅論證的要害。仿佛是壹個玩笑似的，
在悲哀而窘迫的拉梅付出幾周時間設法補救的嘗試告以失敗之後，拉梅認識到，
他與當年歐拉同樣犯了壹個無可救藥的錯誤。
山窮水盡疑無路，柳暗花明又壹村。完全摧毀拉梅的證明的理論，事實上是
另壹位數學家庫默爾（Kummer）於三年前在壹本並不出名的刊物上所發表的壹篇
論文。如果拉梅當時就得知這壹結果的話，他很可能就可以避免犯錯。當拉梅認
識到自己的錯誤並了解了庫默爾的成果時，庫默爾已經建立了壹套全新的數學理
論，並也將它用在了對費馬最後定理的證明上。同樣在1847年，庫默爾得到了壹
個裏程碑性質的結論：對於所有小於37的素指數（當然對所有小於37的指數也成
立），以及除了37，59和67以外的所有小於100的素指數，費馬最後定理都成立。
經過壹段極其艱難的跋涉之後，人們在本世紀因為獲得了計算機的幫助而加
快了解決費馬最後定理的進程。先是由斯塔伏特（Staffort）和範笛弗(Vandive
r)對小於617的所有素數進行了驗算。1954年,萊默 (Lehmer)進壹步驗算到了400
1，後來又有人算到了30000。1976年，美國的瓦格斯塔夫(Wagstaff)證明了對於
小於125000的所有冪指數，費馬最後定理都成立。
1983年初，29歲的西德數學家G·法爾庭斯（Gerd Faltings）證明了壹個結論，
它標誌著數學中最著名的未解決的問題取得了100多年來最大的進步。他證明了對
於每壹個大於2的指數n，費馬方程最多有有限個本原解（即沒有公因子的解），
這壹證明幫助法爾庭斯獲得了1986年的菲爾茲獎，但是人們卻無從得知，這壹證
明是否能導致對最後定理的完全證明呢？但是無論如何，法爾庭斯把存在無限多
個解的可能性降到了最多只可能有有限個解，這確實是壹個質的飛躍！
定理的最終證明
盡管在普通人的心目中，都相信費馬真的找到了壹個證明。但這似乎更象是
壹個動人的故事。壹個17世紀的業余數學家在腦海中形成了對壹個命題的證明，
使得其後三個多世紀的無數專業數學家為之奮鬥而勞而無功。所幸的是，在人類
即將跨入下壹個世紀的最後十年當中，終於揭開了費馬最後定理那撩人的面紗！
最後的攻堅路線跟費馬本人、歐拉和庫默爾等人的完全不同，它是現代數學
許多分支（諸如橢圓曲線理論，模型式理論，伽羅華表示理論，等等）綜合發揮
作用的結果。由於整個證明過程涉及眾多高深的數學理論，許許多多數學家為此
作出了貢獻。我們在這裏無法壹壹細述，只能極粗略地勾劃出證明路線的輪廓。
在本世紀50～60年代，數論研究中逐漸形成了壹個重要的猜想，它最早是由
谷山豐（Y. Taniyama）提出，後經誌村五郎（Goro Shimura）和A·韋爾（We
il）精煉成如下形式：有理數域上的每條橢圓曲線都是模曲線。（現在壹般稱
之為谷山－誌村猜想。）
從60年代後期開始，有人將費馬方程Xn＋Yn＝Zn和形如y2＝x（x＋
A）（x＋B）的橢圓曲線相聯系，最初的著眼點是利用跟費馬最後定理有關的
結論來證明與橢圓曲線有關的結論。1985年，弗萊（Frey）在兩者的聯系方面邁
出了重要的壹步，他提出：如果費馬最後定理不成立，則與谷山－誌村猜想相矛
盾。1986年，其他數學家在此基礎上給予了繼續的論證，並最終將費馬最後定理
的證明歸結為對谷山－誌村猜想的證明。
1993年6月，英國數學家安德魯·約翰·懷爾斯（Wiles）於經歷了7年的奮鬥
之後在劍橋大學牛頓數學研究所舉行的數學討論會上，宣布他證明了谷山－誌村
猜想，在此基礎之上，懷爾斯宣布他證明了費馬最後定理。然而歷史總是以驚人
的方式在輪回。在對懷爾斯長達長達200多頁的證明進行論證時，數學家們又發現
了壹個漏洞！1993年12月4日，懷爾斯向同行們發出壹份電子郵件，承認了他的證
明中有錯誤。這是否意味著即將進入21世紀的科學家們必須要臣服在3個多世紀前
的壹位業余數學家的腳下呢？
答案是否定的。人類又壹次用行動實現了不斷超越自我的目標。懷爾斯所犯
下的錯誤，由他本人給予了補充證明。1994年10月25日，美國俄亥俄州州立大學
的魯賓教授以電子郵件的方式向數學界的朋友們謹慎而又樂觀的宣布："懷爾斯完
全證明了費馬最後定理！"
1995年7月號的《美國數學會通告》上刊出了法爾庭斯的文章，題目是"泰勒
和懷爾斯對費馬最後定理的證明"。文章開宗名義的以極其肯定的語調宣稱："在
本文中所提到的猜想於1994年9月終於被完全證明了！"至此，人們可以肯定的相
信，那個困擾了數學家300多年的著名"定理"真正成為了定理！
費馬最後定理的故事在科學史上是絕無僅有的，從它提出的那壹天，它就被
冠以了"定理"的稱號，註定了它的與眾不同。而人們求索它的完全解決，似乎只
是因為對費馬的不盡相信。然而僅僅是這樣嗎？不是！數學家們追求對費馬最後
定理的證明，再次的說明了對待科學的態度必須是嚴謹的，不容半點含糊。因為
，我們人類社會大廈的構造，只能建立在堅實的科學基礎之上！