假如a,b都是有理數,這等式不能成立,因而對於這種不是底a的冪的數b,其對數應當恰如其分地命名為超越數.”歷史上第壹個證明了超越數存在性的是法國數學家劉維爾（J.Liouville,1809~1882）,他於1851年構造了壹個數：L=1/10+1/10^2!+1/10^3!.這個無限小數後來被稱為“劉維爾數”.劉維爾成功地證明了這個數是壹個超越數.
在“劉維爾數”構造出來之後二十多年,數學家康托證明了：所有代數數的集合是可數的,即代數數的個數與自然數壹樣多!在此基礎上,康托根據他的集合論中的另外壹個結論——實數集是不可數的,得知復數集也是不可數的,因而進壹步得到壹個結論：必定存在不是代數數的復數,因此超越數必定存在!
繼劉維爾之後,數學家們為了證明某些具體的數的超越性付出了種種努力：1873年,法國數學家埃爾米特（C．Hermite,1822～l901）證明了自然對數的底
e＝2．7182818……
是超越數.1882年,德國數學數學家林德曼（Lindemann,1852～1939）證明了圓周率
π＝3．1415926……
是超越數.
證明某些數是超越數有著重大的意義,比如說π的超越性的證明就徹底地解決了古希臘三大作圖問題中的化圓為方問題,即化圓為方是不可能的.判斷某些給定的數是否超越數實在是太困難了,為了獲得上述結果,壹個多世紀以來,數學家們付出了艱苦的勞動.即便如此,這個領域仍舊迷霧重重.比如說,現在人們仍然無法斷定像e＋π和這樣的數到底是代數數還是超越數.
超越數與代數數有著明顯的不同,甚至連運算法則也有區別.比如說,對於代數數成立的加法和乘法消去律,對於超越數來說就不成立.舉個例子,如果對三個超越數a,b,c有下式成立：
a＋b＝a＋c
但
b＝c卻不壹定成立.類似地,對於這三個數,如果下式成立：
a×b＝a×c
但
b＝c
也不壹定成立.