黎曼幾何適用於曲線、曲面以及更壹般的流形空間。下面是對黎曼幾何適用空間的詳細描述。
1.曲線空間：
在黎曼幾何中，我們可以研究曲線的性質。曲線可以看作是壹維流形，可以在該流形上定義長度、曲率等概念。通過引入度量張量，可以確定曲線上兩點之間的距離和路徑長度。黎曼幾何可以用來描述曲線的幾何特征，如曲率、切向量以及曲線在不同參數化下的表示等。
2.曲面空間：
曲面是二維的流形，黎曼幾何也適用於研究曲面的性質。曲面可以用來描述各種平滑的表面，比如球面、柱面、錐面等。通過引入度量張量，在曲面上定義了內積和長度的概念，使得我們可以計算曲面上點的切向量、法向量以及曲率等幾何量。
3.流形空間：
黎曼幾何最大的應用領域是研究更壹般的流形空間。流形是壹個局部與歐幾裏德空間同胚的拓撲空間，可以用局部坐標系來描述。
黎曼幾何通過引入度量張量和聯絡的概念，使得我們能夠在流形上定義內積、長度、曲率等幾何量。流形空間包括各種各樣的對象，比如高維空間、非線性空間以及廣義相對論中描述時空的四維時空流形等。
4.應用領域：
黎曼幾何在物理學、數學和工程學等許多領域中都有重要應用。在物理學中，黎曼幾何被廣泛應用於相對論理論的建立與研究，描述了彎曲時空中物體的運動與引力的作用。在數學中，黎曼幾何為拓撲學、微分幾何以及流形上的分析提供了基礎理論。
在工程學中，黎曼幾何可用於計算機圖形學中對曲面的建模、醫學圖像處理中對器官形狀的分析等。此外，黎曼幾何還在統計學、計算機視覺、人工智能等領域也有廣泛應用。