什麽是全微分方程？

簡介

全微分方程是常微分方程的壹種，它在物理學和工程學中廣泛使用。

編輯本段定義

給定R2的壹個單連通的開子集D和兩個在D內連續的函數I和J，那麽以下形式的壹階常微分方程：

稱為全微分方程，如果存在壹個連續可微的函數F，稱為勢函數，使得：

“全微分方程”的命名指的是函數的全導數。對於函數F(x0,x1,...,xn ? 1,xn)，全導數為：

編輯本段勢函數

在物理學的應用中，I和J通常不僅是連續的，也是連續可微的。施瓦茨定理（也稱為克萊羅定理）提供了勢函數存在的壹個必要條件。對於定義在單連通集合上的微分方程，這個條件也是充分的，我們便得出以下的定理：

給定以下形式的微分方程：

其中I和J在R2的單連通開子集D上是連續可微的，那麽勢函數F存在，當且僅當下式成立：

編輯本段解

給定壹個定義在R2的單連通開子集D上的全微分方程，其勢函數為F，那麽D內的可微函數f是微分方程的解，當且僅當存在實數c，使得：

對於初值問題：

我們可以用以下公式來尋找壹個勢函數：

解方程：

其中c是實數，我們便可以構造出所有的解。

參考資料：

Boyce, W. E. and DiPrima, R. C. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, 4th ed. New York: Wiley, 1986.

Ross, C. C. §3.3 in Differential Equations. New York: Springer-Verlag, 2004.

Zwillinger, D. Ch. 62 in Handbook of Differential Equations. San Diego, CA: Academic Press, 1997.