分數布朗運動
世界是非線性的，宇宙萬物絕大部分不是有序的、線性的、穩定的，而是混沌的、非線性的、非穩定和漲落不定的沸騰世界。有序的、線性的、穩定的只存在於我們自己構造的理論宮殿，而現實宇宙充滿了分形。在股票市場的價格波動、心率及腦波的波動、電子元器件中的噪聲、自然地貌等大量的自然現象和社會現象中存在著壹類近乎全隨機的現象，它們具有如下特性：在時域或空域上有自相似性和長時相關性和繼承性；在頻域上，其功率譜密度在壹定頻率範圍內基本符合1/f的多項式衰減規律。因此被稱為1/f族隨機過程。Benoit Mandelbrot和Van Ness 提出的分數布朗運動(fractional Brownian motion，FBM)模型是使用最廣泛的壹種，它具有自相似性、非平穩性兩個重要性質，是許多自然現象和社會現象的內在特性。分數布朗運動被賦予不同的名稱，如分形布朗運動、有偏的隨機遊走(Biased Random walk)、分形時間序列(Fractional time serial)、分形維納過程等。其定義如下：
設0<H<1，Hurst參數為H的分數布朗運動為壹連續Gaussian過程，且 ，協方差為 。H=1/2時， 即為標準布朗運動 。
分數布朗運動特征是時間相關函數C(t)≠0,即有持久性或反持久性,或者說有“長程相關性”,不失壹般性，可以給出壹維情形的布朗運動及分數布朗運動的定義。分數布朗運動既不是馬爾科夫過程，又不是半鞅，所以不能用通常的隨機來分析。分數布朗運動與布朗運動之間的主要區別為：分數布朗運動中的增量是不獨立的，而布朗運動中的增量是獨立的；分數布朗運動的深層次上和布朗運動的層次上它們的分維值是不同的，分數布朗運動（分形噪聲）的分維值alpha等於1/H，H為Hurst指數，而布朗運動（白噪聲）的分維值都是2。
Hurst在壹系列的實證研究中發現，自然現象都遵循“有偏隨機遊走”，即壹個趨勢加上噪聲，並由此提出了重標極差分析法(Rescaled Range Analysis，R/S分析)。設R/S表示重標極差，N表示觀察次數，a是固定常數，H表示赫斯特指數，在長達40多年的研究中，通過大量的實證研究，赫斯特建立了以下關系:
R/S=(aN)H
通過對上式取對數，可得：
log(R/S)=H(logN十loga)
只要找出R/S關於N的log/log圖的斜率，就可以來估計H的值。 Hurst指數H用來度量序列相關性和趨勢強度：當H=0.5時，標準布朗運動，時間序列服從隨機漫步；當H≠0.5時,C(t)≠0，且與時間無關，正是分數布朗運動的特征。當0.5<H<1時，序列是趨勢增強的，遵循有偏隨機遊走過程；當0<H<0.5時，序列是反持續性的。可以看出，Hurst指數能夠很好地刻畫證券市場的波動特征，將R/S分析應用於金融市場，可以判斷收益率序列是否具有記憶性，記憶性是持續性的還是反持續性的。所以，分數布朗運動是復雜系統科學體系下的數理金融學的壹個合適的工具，作為對描述金融市場價格波動行為模型的維納過程的壹般化、深刻化具有重要的理論與現實意義。