丟番 圖 逼近理論建基於劉維爾關於代數數逼近的定理，該定理簡述如下：
定理 . 設無理數 α 是個整系數 n 次多項式的根，則存在常數 A > 0，使得對任意兩整數 p,q > 0 恒有
如右上角圖
劉維爾定理可用以直接構造超越數。在這之前，數學家們已藉連分數導出關於平方根與其它二次無理數的許多逼近性質。這個結果後來由 Axel Thue 等人改進，並導致 Roth 定理：將劉維爾定理中的指數 n 由代數數的次數縮減到任意的 2+ε（其中 ε>0）；之後 Schmidt 將此推廣到同步逼近。這些證明頗困難，而且不能得到明確的上界，這在應用上是壹大缺憾。 在 Ro th 定理以後，丟番圖逼近的主要進展與超越理論相關。均勻分布關乎分布的不規則性，因而帶有組合學的本性。丟番圖逼近中仍有陳述簡單卻懸而未解的問題，例如勒特伍德猜想。