在某區域上處處可導的復變函數數稱為該區域上的解析函數。
拓展：
調和函數和解析函數的關系如下：
解析函數是復函數，調和函數可看作是解析函數的實部或虛部代表的實二元函數，二者基本壹壹對應。從調和函數構造解析函數要求，調和函數定義在單連通區域上，否則就對應的是壹個復的多值函數了。
調和函數是在某區域中滿足拉普拉斯方程的函數。通常對函數本身還附加壹些光滑性條件，例如有連續的壹階和二階偏導數。當自變量為n個（從而區域是n維的）時，則稱它為n維調和函數。
對於高維的調和函數，也有與上述類似的最大、最小值原理，平均值公式以及相應的狄利克雷問題解的存在和惟壹性定理。
解析函數：
區域上處處可微分的復函數。17世紀，L.歐拉和J.leR.達朗貝爾在研究水力學時已發現平面不可壓縮流體的無旋場的勢函數Φ（x，y)與流函數Ψ（x，y)有連續的偏導數，且滿足微分方程組，並指出f（z）=Φ（x，y）+iΨ（x，y）是可微函數，這壹命題的逆命題也成立。
柯西把區域上處處可微的復函數稱為單演函數，後人又把它們稱為全純函數、解析函數。B.黎曼從這壹定義出發對復函數的微分作了深入的研究，後來，就把上述的偏微分方程組稱為柯西-黎曼方程，或柯西-黎曼條件。