對數的概念：logarithms
如果b^n=x，則記n=log(b)(x)。其中，b叫做“底數”，x叫做“真數”，n叫做“以b為底的x的對數”。
log(b)(x)函數中x的定義域是x>0，零和負數沒有對數；b的定義域是b>0且b≠1
對數的歷史：
對數是中學初等數學中的重要內容，那麽當初是誰首創“對數”這種高級運算的呢？在數學史上，壹般認為對數的發明者是十六世紀末到十七世紀初的蘇格蘭數學家——納皮爾（Napier，1550-1617年）男爵。在納皮爾所處的年代，哥白尼的“太陽中心說”剛剛開始流行，這導致天文學成為當時的熱門學科。可是由於當時常量數學的局限性，天文學家們不得不花費很大的精力去計算那些繁雜的“天文數字”，因此浪費了若幹年甚至畢生的寶貴時間。納皮爾也是當時的壹位天文愛好者，為了簡化計算，他多年潛心研究大數字的計算技術，終於獨立發明了對數。當然，納皮爾所發明的對數，在形式上與現代數學中的對數理論並不完全壹樣。在納皮爾那個時代，“指數”這個概念還尚未形成，因此納皮爾並不是像現行代數課本中那樣，通過指數來引出對數，而是通過研究直線運動得出對數概念的。那麽，當時納皮爾所發明的對數運算，是怎麽壹回事呢？在那個時代，計算多位數之間的乘積，還是十分復雜的運算，因此納皮爾首先發明了壹種計算特殊多位數之間乘積的方法。讓我們來看看下面這個例子：
0、1、2、3、4、5、6、7 、8 、9 、10 、11 、12 、13 、14 、……
1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024、2048、4096、8192、16384、……
這兩行數字之間的關系是極為明確的：第壹行表示2的指數，第二行表示2的對應冪。如果我們要計算第二行中兩個數的乘積，可以通過第壹行對應數字的加和來實現。比如，計算64×256的值，就可以先查詢第壹行的對應數字：64對應6，256對應8；然後再把第壹行中的對應數字加和起來：6＋8＝14；第壹行中的14，對應第二行中的16384，所以有：64×256＝16384。納皮爾的這種計算方法，實際上已經完全是現代數學中“對數運算”的思想了。回憶壹下，我們在中學學習“運用對數簡化計算”的時候，采用的不正是這種思路嗎：計算兩個復雜數的乘積，先查《常用對數表》，找到這兩個復雜數的常用對數，再把這兩個常用對數值相加，再通過《常用對數的反對數表》查出加和值的反對數值，就是原先那兩個復雜數的乘積了。這種“化乘除為加減”，從而達到簡化計算的思路，不正是對數運算的明顯特征嗎？經過多年的探索，納皮爾男爵於1614年出版了他的名著《奇妙的對數定律說明書》，向世人公布了他的這項發明，並且解釋了這項發明的特點。所以，納皮爾是當之無愧的“對數締造者”，理應在數學史上享有這份殊榮。偉大的導師恩格斯在他的著作《自然辯證法》中，曾經把笛卡爾的坐標、納皮爾的對數、牛頓和萊布尼茲的微積分***同稱為十七世紀的三大數學發明。法國著名的數學家、天文學家拉普拉斯（PierreSimonLaplace，1749-1827）曾說對數可以縮短計算時間，“在實效上等於把天文學家的壽命延長了許多倍”。
對數的性質及推導
用^表示乘方，用log(a)(b)表示以a為底，b的對數
*表示乘號，/表示除號
定義式：
若a^n=b(a>0且a≠1)
則n=log(a)(b)
基本性質：
1.a^(log(a)(b))=b
2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);
3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);
4.log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
推導
1.這個就不用推了吧，直接由定義式可得(把定義式中的[n=log(a)(b)]帶入a^n=b)
2.
MN=M*N
由基本性質1(換掉M和N)
a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)] * a^[log(a)(N)]
由指數的性質
a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]}
又因為指數函數是單調函數，所以
log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N)
3.與2類似處理
MN=M/N
由基本性質1(換掉M和N)
a^[log(a)(M/N)] = a^[log(a)(M)] / a^[log(a)(N)]
由指數的性質
a^[log(a)(M/N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]}
又因為指數函數是單調函數，所以
log(a)(M/N) = log(a)(M) - log(a)(N)
4.與2類似處理
M^n=M^n
由基本性質1(換掉M)
a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n
由指數的性質
a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n}
又因為指數函數是單調函數，所以
log(a)(M^n)=nlog(a)(M)
其他性質：
性質壹：換底公式
log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
推導如下
N = a^[log(a)(N)]
a = b^[log(b)(a)]
綜合兩式可得
N = {b^[log(b)(a)]}^[log(a)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
又因為N=b^[log(b)(N)]
所以
b^[log(b)(N)] = b^{[log(a)(N)]*[log(b)(a)]}
所以
log(b)(N) = [log(a)(N)]*[log(b)(a)] {這步不明白或有疑問看上面的}
所以log(a)(N)=log(b)(N) / log(b)(a)
性質二：（不知道什麽名字）
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
推導如下
由換底公式[lnx是log(e)(x),e稱作自然對數的底]
log(a^n)(b^m)=ln(a^n) / ln(b^n)
由基本性質4可得
log(a^n)(b^m) = [n*ln(a)] / [m*ln(b)] = (m/n)*{[ln(a)] / [ln(b)]}
再由換底公式
log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)]
--------------------------------------------（性質及推導 完 ）
公式三:
log(a)(b)=1/log(b)(a)
證明如下:
由換底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a) ----取以b為底的對數,log(b)(b)=1
=1/log(b)(a)
還可變形得:
log(a)(b)*log(b)(a)=1