莫比烏斯帶和莫比斯爾環有什麽不同？

為方便說明，可以取壹條紙帶（長條狀即可）拉平，將紙帶的壹端扭（窄端）扭轉180度，再將兩個窄端粘接起來——這就成了壹圈有名的數學模型-「莫比斯環」（Moebius Strip）。這就是公元1858年，德國數學家莫比烏斯（Mobius，1790～1868）的發現：把壹個扭轉180°後再兩頭粘接起來的紙條，具有魔術般的性質。\x0d\\x0d\ 莫比斯環不同於壹般的紙環，因為它呈現出壹個無盡的空間：壹般的紙環有內外兩面，內環和外環的長度都是有限的，容易測度出來；然而，莫比斯環的內外環長度卻無法測知，因為它的內環的極限就是外環，而外環的極限是內環，兩個看似不同的平面就這般融媾合壹。莫比斯環乍看之下有兩個面，兩個面卻是同壹個，不分內外，沒有終結。 \x0d\\x0d\ 從壹般的紙環的中央剪開，紙環便會壹分為二，兩個新紙環的周長和原版紙環壹樣，整個過程就像細胞分裂。可是莫比斯環就不同了：從它寬度的二分之壹處剪開，它不會分成兩個，而是膨脹為壹個放大的莫比斯環；如果從它寬度的三分之壹處剪開，它就會分成二個，只是大小不壹，而且完美地扣合在壹起，更是奇怪。因此，莫比斯環不會分化為兩圈獨立的個體，而只會膨大，或是變成母女般（或母子般，或父子般）相依偎的大小連體。 有趣的是：新得到的這個較長的紙圈，本身卻是壹個雙側曲面，它的兩條邊界自身雖不打結，但卻相互套在壹起！為了讓讀者直觀地看到這壹不太容易想象出來的事實，我們可以把上述紙圈，再壹次沿中線剪開，這回可真的壹分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含於兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身並不打結罷了。\x0d\ \x0d\ 莫比斯環有壹條非常明顯的邊界。這似乎是壹種美中不足。公元1882年，另壹位德國數學家克萊茵（Klein，1849～1925），終於找到了壹種自我封閉而沒有明顯邊界的模型，稱為“克萊茵瓶”。這種怪瓶實際上可以看作是由壹對莫比斯環，沿邊界粘合而成。因而克萊茵瓶比莫比斯環更具壹般性。\x0d\\x0d\我們可以說壹個球有兩個面--外面和內面，如果壹只螞蟻在壹個球的外表面上爬行，那麽如果它不在球面上咬壹個洞，就無法爬到內表面上去。輪胎面也是壹樣，有內外表面之分。但是克萊因瓶卻不同，我們很容易想象，壹只爬在"瓶外"的螞蟻，可以輕松地通過瓶頸而爬到"瓶內"去--事實上克萊因瓶並無內外之分！在數學上，我們稱克萊因瓶是壹個不可定向的二維緊致流型，而球面或輪胎面是可定向的二維緊致流型。