填空題
1.充分必要
2.收斂區間為：│x│≤1，和函數為：arctanx
3.定義域是：｛(x,y)│xy≠0｝,且lim((x,y)->(0,0))f(x,y)=-4
4.投影是：（4/3,4/3,2/3）
5.a·b=3
6.∫(-a,a)(x+sin(ax))dx=0
7.此
題目
有錯
8.是：條件收斂
二、
選擇題
1.（B）存在偏導數但不連續
2.（B）(-1,1]
3.（B）y'=1/(x+y)
4.（C）a×b=b×a
5.（A）π/3
6.（D）f(x,y)=√(x^2+y^2)
7.（D）∑ln(1+1/n^2)
8.
此題目有錯
三、計算題
1.原式=[-cos(x+π/3)]│(π/3,π)=-cos(4π/3)+cos(2π/3)=0
2.原式=lim(x->0)[sin(x^2)/(3x^2)]
(0/0型極限，應用羅比達法則)
=(1/3)lim(x->0)[sin(x^2)/x^2]
=(1/3)*1
(應用重要極限lim(x->0)(sinx/x)=1)
=1/3
3.∵e^z-xyz=0
==>e^z(δz/δx)-yz-xy(δz/δx)=0
(δz/δx表示z關於x的偏導數)
==>e^z(δz/δx)?+e^z(δ?z/δx?)-y(δz/δx)-y(δz/δx)-xy(δ?z/δx?)=0
(δ?z/δx?表示z關於x的二階偏導數)
==>(xy-e^z)(δ?z/δx?)=[e^z(δz/δx)-2y](δz/δx)
∴δ?z/δx?=[e^z(δz/δx)-2y](δz/δx)/(xy-e^z)
4.f(x,y)的極值是：f(1/2,-1)=-e/2
(對不起，難得打過程！)
5.所求面積=1/2+ln2
四、證明題
1.∵F'(x)=f(x)+1/f(x)=[f?(x)+1]/f(x)>0
（∵f(x)>0）
∴F(x)是嚴格
單調遞增函數
∵F(a)=∫(b,a)dx/f(x)=-∫(a,b)dx/f(x)<0
(∵f(x)>0,a<b)
F(b)=∫(a,b)f(x)dx>0
∴F(x)與x軸只有唯壹的壹個交點
故
方程
F(x)=0在[a,b]上有且僅有壹個根
2.左邊=∫(0,a)f(x)dx∫(x,a)dy
(根據積分
區域圖形
變換積分
順序
)
=∫(0,a)(a-x)f(x)dx
=右邊，證畢
五、當p≤1時，此級數發散。當p＞1時，此級數收斂。