名稱定義
假設集合A={a,b}，集合B={0,1,2}，則兩個集合的笛卡爾積為{(a,0),(a,1),(a,2),(b,0),(b,1),(b,2)}。可以擴展到多個集合的情況。類似的例子有，如果A表示某學校學生的集合，B表示該學校所有課程的集合，則A與B的笛卡爾積表示所有可能的選課情況。
笛卡兒積的運算性質
由於有序對<x,y>中x,y的位置是確定的，因此A×B的記法也是確定的，不能寫成B×A.
笛卡兒積也可以多個集合合成，A1×A2×…×An.
笛卡兒積的運算性質. 壹般不能交換.
笛卡兒積，把集合A，B合成集合A×B，規定
A×B＝{<x,y>?x?A?y?B}
推導過程
給定壹組域D1，D2，…，Dn，這些域中可以有相同的。D1，D2，…，Dn的笛卡爾積為：
D1×D2×…×Dn＝｛（d1，d2，…，dn）｜di?8?3Di，i＝1，2，…，n｝
所有域的所有取值的壹個組合不能重復
例 給出三個域：
D1=SUPERVISOR ={ 張清玫，劉逸 }
D2=SPECIALITY={計算機專業，信息專業}
D3=POSTGRADUATE={李勇，劉晨，王敏}
則D1，D2，D3的笛卡爾積為D：
D=D1×D2×D3 ＝
｛(張清玫，計算機專業，李勇)，(張清玫，計算機專業，劉晨)，
(張清玫，計算機專業，王敏)，(張清玫，信息專業，李勇)，
(張清玫，信息專業，劉晨)，(張清玫，信息專業，王敏)，
(劉逸，計算機專業，李勇)，(劉逸，計算機專業，劉晨)，
(劉逸，計算機專業，王敏)，(劉逸，信息專業，李勇)，
(劉逸，信息專業，劉晨)，(劉逸，信息專業，王敏) ｝
這樣就把D1,D2,D3這三個集合中的每個元素加以對應組合，形成龐大的集合群。
本個例子中的D中就會有2X2X3個元素，如果壹個集合有1000個元素，有這樣3個集合，他們的笛卡爾積所組成的新集合會達到十億個元素。假若某個集合是無限集，那麽新的集合就將是有無限個元素。
序偶與笛卡爾積
在日常生活中，有許多事物是成對出現的，而且這種成對出現的事物，具有壹定的順序。例如，上，下；左，右；3〈4；張華高於李明；中國地處亞洲；平面上點的坐標等。壹般地說，兩個具有固定次序的客體組成壹個序偶，它常常表達兩個客體之間的關系。記作〈x，y〉。上述各例可分別表示為〈上，下〉；〈左，右〉；〈3，4〉；〈張華，李明〉；〈中國，亞洲〉；〈a，b〉等。
序偶可以看作是具有兩個元素的集合。但它與壹般集合不同的是序偶具有確定的次序。在集合中{a，b}={b，a}，但對序偶〈a，b〉≠〈b，a〉。
設x，y為任意對象，稱集合｛｛x｝,｛x,y｝｝為二元有序組，或序偶（ordered pairs），簡記為<x,y> 。稱x為<x,y>的第壹分量，稱y為第二分量。
定義3-4.1 對任意序偶<a，b> , <c, d > ,<a，b> = <c, d > 當且僅當a＝c且b = d 。
遞歸定義n元序組 <a1，… , an>
<a1，a2> =｛｛a1｝，｛a1 , a2｝｝
<a1 , a2 , a3 > = ｛ ｛a1 , a2｝,｛a1 , a2 , a3｝｝
= < <a1 , a2 > , a3 >
<a1，…an> = <<a1，…an-1>, an>
兩個n元序組相等
< a1，…an >= < b1，…bn >?(a1=b1) ∧ …∧ (an=bn)
定義3-4.2 對任意集合 A1，A2 , …，An，
（1）A1×A2，稱為集合A1，A2的笛卡爾積(Cartesian product)，定義為
A1 ×A2=｛x | $u $v(x = <u,v>∧u ?A1∧v?A2)｝=｛<u,v> | u ?A1∧v?A2｝
（2）遞歸地定義 A1 × A2× … × An
A1 × A2×… × An= (A1× A2 × …× An-1)×An
例題1 若A={α，β}，B={1，2，3}，求A×B，A×A，B×B以及（A×B）?（B×A）。
解 A×B={〈α，1〉，〈α，2〉，〈α，3〉，〈β，1〉，〈β，2〉，<β，3〉}
B×A={〈1，α〉，〈1，β〉，〈2，α〉，〈2，β〉，〈3，α〉，〈3，β〉}
A×A={〈α，α〉，〈α，β〉，〈β，α〉，〈β，β〉}
B×B={〈1，1〉，〈1，2〉，〈1，3〉，〈2，1〉，〈2，2〉，〈2，3〉，〈3，1〉，〈3，2〉，〈3，3〉}
（A×B）?（B×A）=?
由例題1可以看到（A×B）?（B×A）=?
我們約定若A=?或B=?，則A×B=?。
由笛卡爾定義可知：
（A×B）×C={〈〈a，b〉，c〉|（〈a，b〉∈A×B）∧（c∈C）}
={〈a，b，c〉|（a∈A）∧（b∈B）∧（c∈C）}
A×（B×C）={〈a，〈b，c〉〉|（a∈A）∧（〈b，c〉∈B×C）}
由於〈a，〈b，c〉〉不是三元組，所以
（A×B）×C ≠A×（B×C）
定理3-4.1 設A, B, C為任意集合，*表示 ?，?或 – 運算，那麽有如下結論：
笛卡爾積對於並、交差運算可左分配。即：
A×(B*C)＝(A×B)*(A×C)
笛卡爾積對於並、交差運算可右分配。即：
(B*C) ×A＝(B×A)*(C×A)
¤ 當*表示 ?時，結論（1）的證明思路:(討論敘述法)
先證明A×(B ? C)?(A×B) ? (A×C) 從<x,y>∈A×(B?C)出發，推出<x,y>∈(A ×B) ? (A×C)
再證明(A×B) ? (A×C) ? A×(B ? C)
從<x,y>∈(A×B) ? (A×C)出發，推出<x,y>∈A×(B?C)
當*表示 ?時，結論（2）的證明思路:(謂詞演算法) 見P-103頁。¤
定理3-4.2 設A, B, C為任意集合，若C ≠ F，那麽有如下結論：
A?B?(A×C ?B×C) ? (C×A?C×B) ¤
定理前半部分證明思路 :(謂詞演算法)
先證明A?B ? (A×C?B×C)
以A?B 為條件，從<x,y>∈A×C出發，推出<x,y>∈B×C
得出(A×C?B×C)結論。
再證明(A×C ?B×C) ? A?B
以C≠F為條件，從x∈A出發，對於y∈C，利用?附加式，推出x∈B
得出(A?B)結論。 見P-103頁。 ¤
定理3-4.3 設A, B, C, D為任意四個非空集合，那麽有如下結論：
A×B ? C×D的充分必要條件是A? C，B? D
¤證明思路:(謂詞演算法)
先證明充分性： A×B ? C×D ? A? C，B? D
對於任意的x∈A、y∈B，從<x,y>∈A×B出發，利用條件A×B? C×D， <x,y>∈C×D，推出x∈C， y∈D。
再證明必要性： A? C，B? D ?A×B? C×D
對於任意的x∈A、y∈B，從<x,y>∈A×B出發，推出<x,y>∈C×D。
笛卡爾（Descartes）乘積又叫直積。設A、B是任意兩個集合，在集合A中任意取壹個元素x，在集合B中任意取壹個元素y，組成壹個有序對（x，y），把這樣的有序對作為新的元素，他們的全體組成的集合稱為集合A和集合B的直積，記為A×B，即A×B={（x，y）|x∈A且y∈B}。