dppb

（1）證明：若AC=BC，則△ABC為等腰直角三角形，

如答圖1所示，連接CD，則CD⊥AB，又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2．

在△AND與△CMD中，

∠1＝∠2 AD＝CD ∠A＝∠DCM＝45°

∴△AND≌△CMD（ASA），

∴DN=DM．

∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3，

∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5，

在△NED與△DFM中，

∠4＝∠3 DN＝DM ∠1＝∠5

∴△NED≌△DFM（ASA），

∴NE=DF．

∵△ANE為等腰直角三角形，∴AE=NE，∴AE=DF．

（2）①答：AE=DF．

證法壹：由（1）證明可知：△DEN∽△MFD

∴

DE

MF

＝

EN

DF

，即MF?EN=DE?DF．

同理△AEN∽△MFB，

∴

AE

MF

＝

EN

BF

，即MF?EN=AE?BF．

∴DE?DF=AE?BF，

∴（AD-AE）?DF=AE?（BD-DF），

∴AD?DF=AE?BD，∴AE=DF．

證法二：如答圖2所示，過點D作DP⊥BC於點P，DQ⊥AC於點Q．

∵D為AB中點，

∴DQ=PC=PB．

易證△DMF∽△NDE，∴

DF

NE

＝

DM

DN

，

易證△DMP∽△DNQ，∴

DM

DN

＝

DP

DQ

＝

DP

PB

，

∴

DF

NE

＝

DP

PB

；

易證△AEN∽△DPB，∴

AE

NE

＝

DP

PB

，

∴

DF

NE

＝

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