在這篇文章中，我們將仔細研究壹個名為GCN的著名圖神經網絡。首先，我們先直觀的了解壹下它的工作原理，然後再深入了解它背後的數學原理。
字幕組雙語原文： GCN圖卷積網絡(GCN)入門詳解
英語原文： Graph Convolutional Networks (GCN)
翻譯： 聽風1996 、 大表哥
許多問題的本質上都是圖。在我們的世界裏，我們看到很多數據都是圖，比如分子、社交網絡、論文引用網絡。
圖的例子。(圖片來自[1])
在圖中，我們有節點特征（代表節點的數據）和圖的結構（表示節點如何連接）。
對於節點來說，我們可以很容易地得到每個節點的數據。但是當涉及到圖的結構時，要從中提取有用的信息就不是壹件容易的事情了。例如，如果2個節點彼此距離很近，我們是否應該將它們與其他對節點區別對待呢？高低度節點又該如何處理呢？其實，對於每壹項具體的工作，僅僅是特征工程，即把圖結構轉換為我們的特征，就會消耗大量的時間和精力。
圖上的特征工程。(圖片來自[1])
如果能以某種方式同時得到圖的節點特征和結構信息作為輸入，讓機器自己去判斷哪些信息是有用的，那就更好了。
這也是為什麽我們需要圖表示學習的原因。
我們希望圖能夠自己學習 "特征工程"。(圖片來自[1])
論文 ：基於圖神經網絡的半監督分類 （2017）[3]
GCN是壹種卷積神經網絡，它可以直接在圖上工作，並利用圖的結構信息。
它解決的是對圖（如引文網絡）中的節點（如文檔）進行分類的問題，其中僅有壹小部分節點有標簽（半監督學習）。
在Graphs上進行半監督學習的例子。有些節點沒有標簽（未知節點）。
就像"卷積"這個名字所指代的那樣，這個想法來自於圖像，之後引進到圖（Graphs）中。然而，當圖像有固定的結構時，圖（Graphs）就復雜得多。
從圖像到圖形的卷積思想。 (圖片來自[1])
GCN的基本思路：對於每個節點，我們從它的所有鄰居節點處獲取其特征信息，當然也包括它自身的特征。假設我們使用average()函數。我們將對所有的節點進行同樣的操作。最後，我們將這些計算得到的平均值輸入到神經網絡中。
在下圖中，我們有壹個引文網絡的簡單實例。其中每個節點代表壹篇研究論文，同時邊代表的是引文。我們在這裏有壹個預處理步驟。在這裏我們不使用原始論文作為特征，而是將論文轉換成向量（通過使用NLP嵌入，例如tf-idf）。NLP嵌入，例如TF-IDF)。
讓我們考慮下綠色節點。首先，我們得到它的所有鄰居的特征值，包括自身節點，接著取平均值。最後通過神經網絡返回壹個結果向量並將此作為最終結果。
GCN的主要思想。我們以綠色節點為例。首先，我們取其所有鄰居節點的平均值，包括自身節點。然後，將平均值通過神經網絡。請註意，在GCN中，我們僅僅使用壹個全連接層。在這個例子中，我們得到2維向量作為輸出（全連接層的2個節點）。
在實際操作中，我們可以使用比average函數更復雜的聚合函數。我們還可以將更多的層疊加在壹起，以獲得更深的GCN。其中每壹層的輸出會被視為下壹層的輸入。
2層GCN的例子：第壹層的輸出是第二層的輸入。同樣，註意GCN中的神經網絡僅僅是壹個全連接層（圖片來自[2]）。
讓我們認真從數學角度看看它到底是如何起作用的。
首先，我們需要壹些註解
我們考慮圖G，如下圖所示。
從圖G中，我們有壹個鄰接矩陣A和壹個度矩陣D。同時我們也有特征矩陣X。
那麽我們怎樣才能從鄰居節點處得到每壹個節點的特征值呢？解決方法就在於A和X的相乘。
看看鄰接矩陣的第壹行，我們看到節點A與節點E之間有連接，得到的矩陣第壹行就是與A相連接的E節點的特征向量（如下圖）。同理，得到的矩陣的第二行是D和E的特征向量之和，通過這個方法，我們可以得到所有鄰居節點的向量之和。
計算 "和向量矩陣 "AX的第壹行。
在問題（1）中，我們可以通過在A中增加壹個單位矩陣I來解決，得到壹個新的鄰接矩陣?。
取lambda=1（使得節點本身的特征和鄰居壹樣重要），我們就有?=A+I，註意，我們可以把lambda當做壹個可訓練的參數，但現在只要把lambda賦值為1就可以了，即使在論文中，lambda也只是簡單的賦值為1。
通過給每個節點增加壹個自循環，我們得到新的鄰接矩陣
對於問題(2): 對於矩陣縮放，我們通常將矩陣乘以對角線矩陣。在當前的情況下，我們要取聚合特征的平均值，或者從數學角度上說，要根據節點度數對聚合向量矩陣?X進行縮放。直覺告訴我們這裏用來縮放的對角矩陣是和度矩陣D?有關的東西（為什麽是D?，而不是D？因為我們考慮的是新鄰接矩陣? 的度矩陣D?，而不再是A了）。
現在的問題變成了我們要如何對和向量進行縮放/歸壹化？換句話說：
我們如何將鄰居的信息傳遞給特定節點？我們從我們的老朋友average開始。在這種情況下，D?的逆矩陣（即，D?^{-1}）就會用起作用。基本上，D?的逆矩陣中的每個元素都是對角矩陣D中相應項的倒數。
例如，節點A的度數為2，所以我們將節點A的聚合向量乘以1/2，而節點E的度數為5，我們應該將E的聚合向量乘以1/5，以此類推。
因此，通過D?取反和X的乘法，我們可以取所有鄰居節點的特征向量（包括自身節點）的平均值。
到目前為止壹切都很好。但是妳可能會問加權平均()怎麽樣？直覺上，如果我們對高低度的節點區別對待，應該會更好。
但我們只是按行縮放，但忽略了對應的列（虛線框）。
為列增加壹個新的縮放器。
新的縮放方法給我們提供了 "加權 "的平均值。我們在這裏做的是給低度的節點加更多的權重，以減少高度節點的影響。這個加權平均的想法是，我們假設低度節點會對鄰居節點產生更大的影響，而高度節點則會產生較低的影響，因為它們的影響力分散在太多的鄰居節點上。
在節點B處聚合鄰接節點特征時，我們為節點B本身分配最大的權重（度數為3），為節點E分配最小的權重（度數為5）。
因為我們歸壹化了兩次，所以將"-1 "改為"-1/2"
例如，我們有壹個多分類問題，有10個類，F 被設置為10。在第2層有了10個維度的向量後，我們將這些向量通過壹個softmax函數進行預測。
Loss函數的計算方法很簡單，就是通過對所有有標簽的例子的交叉熵誤差來計算，其中Y_{l}是有標簽的節點的集合。
層數是指節點特征能夠傳輸的最遠距離。例如，在1層的GCN中，每個節點只能從其鄰居那裏獲得信息。每個節點收集信息的過程是獨立進行的，對所有節點來說都是在同壹時間進行的。
當在第壹層的基礎上再疊加壹層時，我們重復收集信息的過程，但這壹次，鄰居節點已經有了自己的鄰居的信息（來自上壹步）。這使得層數成為每個節點可以走的最大跳步。所以，這取決於我們認為壹個節點應該從網絡中獲取多遠的信息，我們可以為#layers設置壹個合適的數字。但同樣，在圖中，通常我們不希望走得太遠。設置為6-7跳，我們就幾乎可以得到整個圖，但是這就使得聚合的意義不大。
例： 收集目標節點 i 的兩層信息的過程
在論文中，作者還分別對淺層和深層的GCN進行了壹些實驗。在下圖中，我們可以看到，使用2層或3層的模型可以得到最好的結果。此外，對於深層的GCN（超過7層），反而往往得到不好的性能（虛線藍色）。壹種解決方案是借助隱藏層之間的殘余連接（紫色線）。
不同層數#的性能。圖片來自論文[3]
論文作者的說明
該框架目前僅限於無向圖（加權或不加權）。但是，可以通過將原始有向圖表示為壹個無向的兩端圖，並增加代表原始圖中邊的節點，來處理有向邊和邊特征。
對於GCN，我們似乎可以同時利用節點特征和圖的結構。然而，如果圖中的邊有不同的類型呢？我們是否應該對每種關系進行不同的處理？在這種情況下如何聚合鄰居節點？最近有哪些先進的方法？
在圖專題的下壹篇文章中，我們將研究壹些更復雜的方法。
如何處理邊的不同關系（兄弟、朋友、......）？
[1] Excellent slides on Graph Representation Learning by Jure Leskovec (Stanford):
[5] Demo with StellarGraph library: -node-classification.html
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