數的認識 簡易方程
壹、數和數的運算 數的整除 二、代數初步知識
數的運算 比和比例
壹般復合應用題 長度
典型應用題 面積
三、應用題 分數、百分數應用題 四、量的計量 體積
列方程解應用題 重量
比和比例應用題 時間
人民幣
線 統計表
平面圖形的認識與計算 角 六、統計與概率
五、空間與圖形 平面圖形 統計圖
長方體、正方體
立體圖形的認識與計算
圓柱體、圓錐體
壹、數和數的運算
（壹）數的認識
整數的含義：像…-3，-1，0，1，2，3，…這樣的數統稱整數。
正數和負數的含義：像1，+5，6，…這樣的數叫做正數；像-3，-2，-9，…這樣的數叫做負數。
占位
0是最小的自然數，0是偶數，0的作用 表示起點
表示界線
自然數 1是最小的壹位數，是自然數的基本單位；1既不是質數，也不是合數。
數的意義： 是整數的壹部分，可表示基數也可以表示序數
意義：把單位“1”平均分成若幹份，表示這樣壹份或幾份的數叫做分數。表示其中壹份的數就是分數單位
分數
真分數——分子比分母小（小於1）
分類： 假分數——分子大於或等於分母（大於或等於1）
帶分數——分子比分母大（大於1）
意義：把整體“1”平均分成10份、100份、1000份……這樣的壹份或幾份
是十分之幾，百分之幾，千分之幾……可以用小數表示
有限小數
按小數部分分 無限不循環小數
小數 無限小數 純循環小數
分類 純小數 循環小數
按整數部分分 混循環小數
帶小數
整數和小數數位順序表
整數部分 小數部分
… 億級 萬級 個級
數位 … 千億位 百億位 十億位
億位 千萬位 百萬位 十萬位
萬位
千位
百位
十位
個位 十分位 百分位 千分位 萬分位 …
計數單位 … 千億 百億 十億
億 千萬 百萬 十萬
萬
千
百
十
壹
十分之壹 百分之壹 千分之壹 萬分之壹 …
百分數：表示壹個數是另壹個數的百分之幾的數叫做百分數。（百分率或百分比）
折扣*：商業用名詞，幾折就是十分之幾，成數，幾成就是百之幾十。
註意：百分數、折扣只表示兩個數的倍比關系，而分數除倍比關系外還可以表示具體數量。
數的讀寫：
1、整數的讀法：從高位到低位，壹級壹級地讀，每級末尾的0都不讀，其他數位連續有幾個0都只讀壹個0。
2、整數的寫法：從高位到低位，壹級壹級地寫，哪壹個數位上壹個單位也沒有，就在那個數位上寫0。
3、小數的讀寫：整數部分按整數來讀（寫），小數點讀作“點”，小數部分依次讀（寫）出每壹位上的數字。
數的改寫
寫成用“萬”或“億”作單位的數
1、多位數的改寫和省略： 省略“萬”或“億”位後面的尾數
2、分數、小數、百分數的互化
改寫成分母是10、100、1000…的分數再約分
小數 分數
用分子除以分母
小數點向右移動兩位，同時添上%
小數 百分數
去掉%，小數點向左移動兩位
寫成分數形式並約分
百分數 分數
先寫成小數，再寫成百分數
數的大小比較：
1、整數的大小比較：先看位數，位數多的數大：位數相同，從高位看起相同數位上的數大的那個數就大
2、小數大小的比較：先比較兩個數的整數部分，整數部分大的那個數就大；整數部分相同就看小數部分從高位看起，依數位比較
3、分數大小比較：分母相同分子大的分數大；分子相同分母小的分數大；分母不同，先通分再比較。
數的基本性質：
1、分數的基本性質：分數的分子和分母同時乘上或者除以相同的數（0除外），分數的大小不變。
2、小數的基本性質：小數的末尾添“0”或者去掉“0”，小數的大小不變。
（二）數的整除
定義：（小學階段研究“數的整除”時所說的數壹般指非0自然數）
數a除以b（b≠0）的商正好是整數而沒有余數，我們就說a能被b整除（或者說b能整除a）。
倍數 公倍數 最小公倍數
整除 因數 公因數 最大公因數
質數 合數 互質數（已刪除）
質因數 分解質因數（已刪除）
2的倍數的特征：個位是0、2、4、6、8。
偶數 奇數（能被2整數的數叫偶數，不能被2整除的數叫奇數。）
3的倍數的特征：各位上的數的和是3的倍數
5的倍數的特征：個位上是0或者5的數。
（三）數的運算
1、四則運算的意義
數的
分類
運算名稱 整數 小數 分數
加法 把兩個數合並成壹個數的運算。
減法 已知兩個加數的和與其中壹個加數，求另壹個加數的運算。
乘法 求幾個相同加數的和的簡便運算。 小數乘整數與整數乘法意義相同。 分數乘整數與整數乘法意義相同。
壹個數乘小數，就是求這個數的十分之幾，百分之幾…是多少。 壹個數乘分數，就是求這個數的幾分之幾是多少。
除法 已知兩個因數的積與其中壹個因數，求另壹個因數的運算。
2、四則運算的法則
整數 小數 分數
加減 相同數位對齊，從低位算起
加法：滿十就向前壹位進壹
減法：不夠減就從前壹位退，退壹當十 小數點對齊，從低位算起，按整數加減法進行計算，結果中的小數點和加減的數的小數點對齊。 1、同分母分數相加減，分母不變，分子相加減。
2、異分母分數相加減，先通分，然後再按同分母分數相加減的方法計算。
3、結果能約分的要約分。
乘法 1、從個位乘起，依次用第二個因數每壹位上的數去乘第壹個因數。
2、用第二個因數哪壹位上的數去乘，得數的末位就和第二個因數的哪壹位對齊。
3、再把幾次乘得的數加起來。 1、按整數乘法法則算出積。
2、看因數中壹***有幾位小數，就從積的右邊起數出幾位點上小數點。 1、分數乘分數，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。
2、有整數的把整數看作分母是1的假分數。
3、有帶分數的，通常先把帶分數化成假分數。
除法 除數是整數：從被除數的高位除起，除數是幾位就先看被除數的前幾位，如果不夠除，就要多看壹位，除到哪壹位就要把商寫在哪壹位的上面。商的小數點和被除數的小數點對齊。 除數是小數：先移動除數的小數點，使它變成整數，除數的小數點向右移動幾位，被除數的小數點也向右移動相同的位數（位數不夠的補0），然後按照除數是整數的除法進行計算。 甲數除以乙數（0除外），等於甲數乘以乙數的倒數。
3、四則運算各部分的關系：
加數+加數=和 被減數—減數=差
壹個加數=和—另壹個加數 減法 被減數=減數+差
減數=被減數—差
因數×因數=積 被除數÷除數=商
壹個因數=積÷另壹個因數 除法 被除數=商×除數
除數=被除數÷商
4、運算定律和運算性質
加法交換律 : a+b=b+a
加法結合律 : (a+b)+c=a+(b+c)
乘法交換律 : a×b=b×a
乘法結合律 : （a×b）×c=a×(b×c)
乘法分配律 : (a+b)×c=a×c+b×c
減法的運算性質: a-b-c=a-(b+c)
除法的運算性質: a÷(b×c)=a÷b÷c
5、四則運算的順序：
在壹個沒有括號的算式裏，如果只含有同壹級運算，要從左往右依次計算；如果含有兩級運算，要先算第二級運算，再算第壹級運算。
有括號的算式裏，要先算括號裏的，再算括號外的。
二、代數的初步知識
（壹）簡易方程
1、用字母表示數：
（1） 用字母可以表示我們學過的自然數、整數、小數、百分數……
（2） 用含有字母的式子，可以簡明地表達數學概念、運算定律和數學計算公式。還可以簡明地表達數量關系。
2、簡易方程
（1） 等式：表示相等關系的式子。
（2） 方程：含有未知數的等式。
（3） 方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數的值。
（4） 解方程：求方程的解的過程。
（5） 解方程的依據：等式的基本性質（天平平衡的道理）
（二）比和比例：
1、 比和比例的意義與性質
比 比例
意義 兩個數相除又叫做兩個數的比 表示兩個比相等的式子叫做比例
基本
性質 比的前項和後項同時乘上或者除以相同的數（0除外），比值不變。 在比例裏，兩個內項的積等於兩個外項的積。
2、 比、分數與除法的關系
比 比號 前項 後項 比值
分數 分數線 分子 分母 分數值
除法 除號 被除數 除數 商
3、 求比值和化簡比的區別與聯系
壹般方法 結果
求比值 根據比值的意義，用前項除以後項。 是壹個商，可以是整數，小數或分數。
化簡比 根據比的基本性質，把比的前項和後項同時乘上或同時除以相同的數（0除外）。 是壹個比 ，它的前項和後項都是整數。
4、 比例尺
圖上距離和實際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。
5、正比例和反比例的區別與聯系
相同點 不同點
特征 關系式
正比例關系 兩種相關聯的量，壹種量變化，另壹種量也隨著變化。 兩種量中相對應的兩個數的比值壹定。
反比例關系 兩種量中相對應的兩個數的積壹定。
ху=k （壹定）
三、應用題
（壹） 壹般復合應用題
1、壹般復合應用題的解法
（1）分析法：從問題入手，逐步分析題裏的已知條件。
（2）綜合法：從應用題的已知條件入手，逐步推出未知。
（3）分析綜合法：將分析法、綜合法結合起來交替使用的方法。當已知條件中有明顯計算過程時就用綜合法順推，遇到困難時再轉向原題所提的問題用分析法幫忙，逆推幾步，順推和逆推聯系上了，問題便解決了。
2、壹般復合應用題的解題步驟：
（1）審清題意，並找出已知條件和所求問題；
（2）分析題目裏的數量間的關系，從而確定先算什麽，再算什麽，最後算什麽；
（3）列式，算出結果；
（4）進行檢驗，寫出答案。
（二）典型應用題（有壹定解答規律的應用題）
1、求平均數問題
（1） 求平均數問題的特點：把各“部分量”合並為“總量”，然後按“總份數”平均，求其中壹份是多少。
（2） 求平均數問題的解題規律：關鍵是先求出“總量”和“總份數”，然後用“總量÷總份數=平均數”，特殊情況可用“移多補少法”解答。
2、歸壹應用題
（1） 歸壹應用的特點：從已知條件中求出“單壹量”，再以“單壹量”為標準去計算所求的量。歸壹問題通常分為正歸壹和反歸壹。
（2） 歸壹問題的解題規律：首先求出壹個單位數量，然後以這個“單位量”為標準，根據題目的要求，用乘法算出若幹個“單位量”是多少，這是正歸壹的解題規律。或用除法算出總量包含多少個“單位量”，這是反歸壹的解題規律。歸壹問題還可以用倍比問題的解題方法求解。
3、相遇問題
（1）特點：A、兩個運動物體；B、運動方向相向；C、運動時間同時。
（2）解題規律：速度和×相遇時間=路程
路程 ÷速度和=相遇時間
路程 ÷相遇時間=速度和
（三）分數、百分數應用題
1、分數乘法應用題
已知壹個數，求它的幾分之幾（百分之幾）是多少，用乘法。即：“壹個數×幾分之幾（百分之幾）”。
已知條件：表示單位“1”的量；單位“1”的幾分之幾（或百分之幾）（又稱：分率）
特征：
所求問題：求單位“1”的幾分之幾（百分之幾）是多少（又稱：部分量）
用等式表示三量的關系：單位“1”的量×分率=部分量
對應關系
2、分數除法應用題
（1）已知壹個數的幾分之幾（百分之幾）是多少，求這個數，用除法。即“多少÷幾分之幾”
已知條件：單位“1”的幾分之幾（分率）；單位“1”的幾分之幾是多少
（部分量）
特征
所求問題：單位“1”的量
用等式表示三量的關系：部分量÷分率=單位“1”的量
對應關系
（2）求壹個數是另壹個數的幾分之幾（百分之幾）用除法。即“壹個數÷另壹個數”。
已知條件：表示單位“1”的量；單位“1”的幾分之幾是多少（部分量）
特征
所求問題：求部分量是單位“1”的幾分之幾（百分之幾）
用等式表示三量的關系：部分量÷單位“1”的量=分率
對應關系
3、工程問題的應用題
把工作總量用“1”表示，工作效率用單位時間內做工作總量的“幾分之壹”表示。根據工作總量與工作效率，就能求出合作完成的工作時間。
三量之間的關系式：工作效率×工作時間=工作總量
工作總量÷工作效率=工作時間
工作總量÷工作時間= 工作效率
（四）列方程解應用題
1、列方程解應用題的思考方法：用字母代替應用題中的未知數，根據數量間的相等關系列方程，解方程。
2、列方程解應用題的壹般步驟
（1）弄清題意，找出未知數並用X表示。
（2）找出數量間的相等關系，列出方程。
（3）解方程。
（4）檢驗並答。
（五）比和比例應用題
比和比例應用題包括：比例尺、按比例分配、和正反比例應用題。
1、比例尺中解題關系式：圖上距離∶實際距離=比例尺
2、按比例分配應用題 ：要分配的總量×各部分量的分率=各部分量。
3、正比例 у/χ=X/Y 反比例χу=XY（正、反比例應用題已刪去）
四、量與計量
（壹）量、計量和計量單位的意義
事物的多少、長短、大小、輕重、快慢等，這些可以測定的客觀事物的特征叫做量。把壹個要測定的量同壹個作為標準的量相比較叫做計量。用來作為計量標準的量叫做計量單位。
（二）常用的計量單位及其進率
1、長度、面積、地積、體積、容積、重量單位及其進率
長度 1千米（km）=1000米(m) 1米(m) =10分米 (dm)
1分米(dm)=10厘米(cm) 1厘米(cm)=10毫米(mm)
面積 1平方千米=1000000平方米
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
1平方厘米=100平方毫米 地積 1平方千米=100公頃
1公頃=10000平方米
體積 1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1立方厘米=1000立方毫米 容積 1升=1000毫升
1立方分米=1升
1立方厘米=1毫升
重量 1噸=1000千克 1千克=1000克
2、常用時間單位及其關系
世紀 年 月 日 時 分 秒
100 12 24 60 60
每月31天的有1、3、5、7、8、10、12各月；每月30天的有4、6、9、11各月；平年全年365天，平年二月28天；閏年全年366天，閏年二月29天。
3、人民幣：1元＝10角 1角＝10分
（三）同類計量單位之間的轉化
（化法）乘以進率
高級單位的數 低級單位的數
（化法）除以進率
五、空間與圖形
（壹）平面圖形的認識和計算
1、線
線段：用直尺把兩點連接起來就得到壹條線段。
線段的長就是這兩點間的距離。（有兩個端點）
直線：把線段的兩端無限延 平行線：在同壹平面內不相交的兩條直線,叫做
長可以得到壹條直線 平行線。
（沒有端點） 垂線：兩條直線相交成直角,這兩條直線叫做互
相垂直,其中壹條直線叫另壹條直線的垂線。
射線：把線段的壹端無限延長可以得到壹條射線。（有壹個端點）
2、角：從壹點引出兩條射線所組成的圖形
銳角：小於90度的角
直角：等於90度的角
鈍角：大於90度而小於180度的角
平角：180度的角
周角：360度的角
3、平面圖形
（1）三角形：由三條線段首尾相互連接圍成的圖形
銳角三角形：三個角都是銳角
按角分 直角三角形：有壹個角是直角
鈍角三角形：有壹個角是鈍角
三角形
等腰三角形：兩條邊相等
按邊分 等邊三角形：三條邊相等
不等邊三角形：三條邊都不相等
（2）四邊形：由四條線段首尾依次連接圍成的圖形。 扇形
平行四邊形 長方形 正方形 （3）圓形
四邊形 環形
直角梯形
梯形
等腰梯形
（畫線段、畫角、畫高、量線段、畫垂線、畫圓、畫對稱軸）
（4）特征及周長、面積計算公式：
名稱 圖形 字母意義 特 征 周長面積公式
正方形
a a：邊長 四條邊都相等，四個角都是直角 C=4a
S=a?
長方形 b
a a：長
b：寬 對邊相等，四個角都是直角 C=2(a+b)
S=ab
平行四 邊形 h
a a：底
h：高 兩組對邊分別平行且相等 S=ah
三角形 h
a a：底
h：高 有三條邊，三個角，內角的和是180度 S=ah÷2
梯形 a
h
b a：上底
b：下底
h：高 只有壹組對邊平行 S=(a+b)h÷2
圓 d
r d：直徑
r：半徑 同圓內半徑相等，直徑相等，直徑是半徑的2倍 C=πd=2πr
S=πr?
(二)立體圖形的認識和計算
1、長方體與正方體特征的區別與聯系
特征
名稱 相同點 不同點
面 棱 頂點 面的特點 棱長
長方體
6個 12條 8
個 6個面壹般都是長方形（也可能有兩個相對的面是正方形），相對的面的面積相等 每組（有3組，分別叫長、寬、高）互相平行的4條棱相等
正方體
6個 12條 8
個 6個面都是相等的正方形 12條棱都相等
2、圓柱、圓錐的特征
名稱 圖形 特征
圓
柱
上、下底面是面積相等的圓，兩個底面之間的距離叫做高。側面沿高展開是長方形（或正方形）。有無數條高
圓
錐
底面是圓形，頂點到底面圓心的距離叫做高。只有壹條高。
3、立體圖形的表面積和體積的計算公式
名稱 圖形 字母意義 表面積s ， 體積v
正方體
a：棱長 S=6a? V=a?
長方體
a：長 b：寬
h：高 S=(ab+ah+bh)x 2 V=abh
圓柱體
r：底面半徑 h：高
c：底面周長 S側=ch=πdh =2πrh
S表=S側 +2S底面 V=sh=πr?h
圓錐體
r：底面半徑
h：高 V=sh÷3
=πr?h÷3
六、統計與概率
單式統計表
統計表 復式統計表
百分數統計表
統計表包括：總標題、縱欄標題、橫欄標題、數據資料欄、數量單位、制表日期
條形統計圖（單式、復式）
統計圖 折線統計圖（單式、復式）
扇形統計圖
統計圖的制法與特點
制法 特點
條形
統計圖 1、 整理數據，畫出橫、縱軸，單位長度表示壹定的數量2、根據數量多少畫直條
3、寫名稱、制表日期、圖例 很容易看出數量的多少
折線
統計圖 1、 整理數據，畫出橫、縱軸，單位長度表示壹定的數量
2、 根據數量多少描點，再把各點用線段順次連接起來。
3、 寫名稱、制表日期、圖例 不但可表示數量的多少，而且能夠表示數量的增減變化
扇形
統計圖 1、計算各部分占總數的百分比，再算出與各部分所對應的扇形的圓心角的度數。2、取適當半徑畫圓，用量角器量出各扇形的圓心角，作扇形。3、註明各扇形表示內容和所占百分比，並用不同的標記加以區別，4、寫上標題及制圖日期。 清楚的表示出各部分與總數及部分與部分的關系
數學《北師大版》與（人教版）增、刪知識
《北師大版》比（人教版）新增知識
1、分類（按壹定標準或不同標準進行分類）
2、位置與順序（前、後、左、右、上、下）
3、位置與方向（東、南、西、北）
4、方向與路線（東南、東北、西南、西北）
5、觀察物體（正面、上面、左面或右面）
6、可能性（大、小；可能、不可能、壹定；分數表示、幾種結果）
7、生活中的推理（列表解決）
8、對稱、平移或旋轉（軸對稱圖形、方向、幾格）
9、圖形變換（繞點、方向、旋轉90°、平移幾格）
10、確定位置（方向、北偏××度，距離；數對）
11、生活中的負數（0既不是正數，也不是負數）
12、數圖形（數角、數三角形、數長方形）
13、遊戲公式（公平性）
14、圖形規律（擺三角形、擺正方形、列表解決）
15、嘗試與猜測（雞兔同籠、點陣中的規律，圖表解決）
16、生活中的數（數據世界、數字用處、身份證）
17、看圖找關系（足球場內聲音、行為、成員間關系）
18、中位數和眾數
19、成數、折數
20、因數、公因數、最大公因數
21、字母單位：m、dm、cm、mm、km；g、kg、t、L、ML
22、搭配的學問（兩種物品以上）
23、比賽場次（循環賽）
24、組合圖形面積（只限兩個圖形）
25、觀察範圍
26、方程（加減或乘除同壹個數、等式性質）
《北師大版》比《人教版》刪去知識
1、約數、公約數、最大公約數
2、互質數
3、分解質因數
4、用比例知識解應用題