2001年全國初中數學聯賽第壹試
壹、選擇題（每小題7分，***42分）
1、a，b，c為有理數，且等式 a + b√2 + c√3 = √(5 + 2√6) 成立，則 2a + 999b + 1001c 的值是（ ）
（A）1999 （B）2000 （C）2001 （D）不能確定
2、若ab≠1，且有 5a2 + 2001a + 9 = 0及 9b2 + 2001b + 5 = 0，則 a/b 的值是（ ）
（A）9/5 （B）5/9 （C）-2001/5 （D）-2001/9
3、已知在△ABC中，∠ACB=900，∠ABC=150，BC=1，則AC的長為（ ）
（A）2 + √3 （B）2 - √3 （C）3/10 （D）√3 - √2
4、在△ABC中，D是邊AC上的壹點，下面四種情況中，△ABD∽△ACB不壹定成立的情況是（ ）
（A）AD·BC = AB·BD （B）AB2 = AD·AC （C）∠ABD = ∠ACB （D）AB·BC = AC·BD
5、①在實數範圍內，壹元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根為 x = -b/2a ± √(b2-4ac)/2a；②在△ABC中，若 AC2 + BC2 ＞ AB2，則△ABC是銳角三角形；③在△ABC和△A'B'C'中，a，b，c分別為△ABC的三邊，分別為的三邊，若a＞a'，b＞b'，c＞c'，則△ABC的面積S大於△A'B'C'的面積S'。以上三個命題中，假命題的個數是（ ）
（A）0（B）1（C）2（D）3
6、某商場對顧客實行優惠，規定：①如壹次購物不超過200元，則不予折扣；②如壹次購物超過200元但不超過500元的，按標價給予九折優惠；③如壹次購物超過500元的，其中500元按第②條給予優惠，超過500元的部分則給予八折優惠。某人兩次去購物，分別付款168元和423元；如果他只去壹次購物同樣的商品，則應付款是（ ）
（A）522.8元（B）510.4元（C）560.4元（D）472.8
二、填空題（每小題7分，***28分）
1、已知點P在直角坐標系中的坐標為（0，1），O為坐標原點，∠QPO=1500，且P到Q的距離為2，則Q的坐標為______。
2、已知半徑分別為1和2的兩個圓外切於點P，則點P到兩圓外公切線的距離為 ______ 。
3、已知x,y是正整數，並且xy+x+y=23 則x2+y2= ______ 。（非原題）
4、壹個正整數，若分別加上100和168，則可得到兩個完全平方數，這個正整數為 _______ 。
2008年全國初中數學聯賽
2008年4月13日上午8：30—9：30
壹、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）
1、設a 2 + 1 = 3 a，b 2 + 1 = 3 b，且a ≠ b，則代數式 + 的值為（ ）
（A）5 （B）7 （C）9 （D）11
2、如圖，設AD，BE，CF為△ABC的三條高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，則線段BE的長為（ ）
（A） （B）4 （C） （D）
3、從分別寫有數字1，2，3，4，5的5張卡片中任意取出兩張，把第壹張卡片上的數字作為十位數字，第二張卡片上的數字作為個位數字，組成壹個兩位數，則所組成的數是3的倍數的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4、在△ABC中，∠ABC = 12°，∠ACB = 132°，BM和CN分別是這兩個角的外角平分線，且點M，N分別在直線AC和直線AB上，則（ ）
（A）BM > CN （B）BM = CN （C）BM < CN （D）BM和CN的大小關系不確定
5、現有價格相同的5種不同商品，從今天開始每天分別降價10％或20％，若幹天後，這5種商品的價格互不相同，設最高價格和最低價格的比值為r，則r的最小值為（ ）
（A）( ) 3 （B）( ) 4 （C）( ) 5 （D）
6、已知實數x，y滿足( x – ) ( y – ) = 2008，
則3 x 2 – 2 y 2 + 3 x – 3 y – 2007的值為（ ）
（A）– 2008 （B）2008 （C）– 1 （D）1
二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）
1、設a = ，則 = 。
2、如圖，正方形ABCD的邊長為1，M，N為BD所在直線上的兩點，且AM = ，∠MAN = 135°，則四邊形AMCN的面積為 。
3、已知二次函數y = x 2 + a x + b的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標分別為m，n，且| m | + | n | ≤ 1。設滿足上述要求的b的最大值和最小值分別為p，q，則| p | + | q | = 。
4、依次將正整數1，2，3，…的平方數排成壹串：149162536496481100121144…，排在第1個位置的數字是1，排在第5個位置的數字是6，排在第10個位置的數字是4，排在第2008個位置的數字是 。
答案： B、D、C、B、B、D；– 2、 、 、1。
2003年全國初中數學聯賽
壹、選擇題（本題滿分42分，每小題7分）
1. 2√(3-2√2) + √(17-12√2) 等於
A.5-4√2 B.4√2-1 C.5 D.1
2.在凸10邊形的所有內角中，銳角的個數最多是
A.0 B.1 C.3 D.5
3.若函數 y = kx (k＞0) 與函數 y = 1/x 的圖象相交於A，C兩點，AB垂直x軸於B，則△ABC的面積為
A.1 B.2 C.k D.k2
4.滿足等式 x√y + y√x - √(2003x) - √(2003y) + √(2003xy) = 2003 的正整數對的個數是
A.1 B.2 C.3 D.4
5.設△ABC的面積為1，D是邊AB上壹點，且 AD/AB = 1/3．若在邊AC上取壹點E，使四邊形DECB的面積為 3/4，則 CE/EA 的值為
A. 1/2 B.1/3 C.1/4 D.1/5
6.如圖，在平行四邊形ABCD中，過A，B，C三點的圓交AD於E，且與CD相切．若AB=4，BE=5，則DE的長為
A.3 B.4 C.15/4 D.16/5
二、填空題（本題滿分28分，每小題7分）
1.拋物線 y = ax2 +bx +c 與x軸交於A，B兩點，與y軸交於點C．若△ABC是直角三角形，則ac=__________．
2.設 m 是整數，且方程 3x2 + mx - 2 = 0 的兩根都大於 -9/5 而小於 3/7，則 m = ____________．
3.如圖 AA'，BB'，分別是∠EAB，∠DBC的平分線．若 AA' = BB' = AB，則∠BAC的度數為_____________．
4.已知正整數a，b之差為120，它們的最小公倍數是其最大公約數的105倍，那麽a，b中較大的數是_________．
2007年全國初中數學聯賽
第壹試
壹、選擇題(每小題7分，***42分)
1．已知 滿足 則 的值為( )．
(A)1 (B) (C) (D)
2．當 分別取值 2，…，2006，2007時，計算代數式 的值，將所得的結果相加，其和等於( )．
(A)-1 (B)l (C)0 (D)2007
3．設 是 的三邊長，二次函數 在 時取最小值 ．則△ABC是( )．
(A)等腰三角形 (B)銳角三角形
(C)鈍角三角形 (D)直角三角形
4．已知銳角△ABC的頂點A到垂心H的距離等於它的外接圓的半徑．則∠A的度數是( )．
(A)30° (B)45° (C)60° (D)75°
5．設K是△ABC內任意壹點，△KAB、△KBC、△KCA的重心分別為D、E、F．則S△DEF：S△ABC的值為( )．
(A) (B) (C) (D)
6．袋中裝有5個紅球、6個黑球、7個白球．現從袋中摸出15個球，摸出的球中恰好有3個紅球的概率是( )．
(A) (B) (C) (D)
二、填空題(每小題7分，***28分)
1．設 ， 是 的小數部分， 是 的小數部分．則 .
2．對於壹切不小於2的自然數 ，關於 的壹元二次方程 的兩個根記作 ．則
= .
3．已知直角梯形ABCD的四條邊長分別為AB=2，BC=CD=10，AD=6，過B、D兩點作圓，與BA的延長線交於點E，與CB的延長線交於點F．則BE-BF的值為 。
4．若 和 均為四位數，且均為完全平方數，則整數 的值為 。
第二試
A卷
壹、(20分)設 為正整數，且 如果對壹切實數 ，二次函數
的圖像與 軸的兩個交點間的距離不小於 ，求 的值．
二、(25分)如圖l，四邊形ABCD是梯形，點E是上底邊AD上壹點，CE的延長線與BA的延長線交於點F．過點E作BA的平行線交CD的延長線於點M，BM與AD交於點N．證明：∠AFN=∠DME．
三、(25分)已知 是正整數．如果關於 的方程 的根都是整數，求 的值及方程的整數根．
B卷
壹、(20分)設 為正整數，且 二次函數 的圖像與 軸的兩個交點間的距離為 ，二次函數 的圖像與 軸的兩個交點間的距離為 ．如果 對壹切實數 恒成立，求 的值。
二、(25分)同A卷第二題．
三、(25分)設 是正整數，二次函數 反比例函數 ．如果兩個函數的圖像的交點都是整點(橫、縱坐標都是整數的點)，求 的值．
C卷
壹、(20分)同B卷第壹題．
二、(25分)同A卷第二題．
三、(25分)設 是正整數．如果二次函數 和反比例函數 的圖像有公***整點(橫、縱坐標都是整數的點)，求 的值和對應的公***整點．
2006年全國初中數學聯賽
第壹試
壹、選擇題(每小題7分，***42分)
1．已知四邊形ABCD為任意凸四邊形，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點用S、p分別表示四邊形ABCD的面積和周長；S1、p1，分別表示四邊形EFGH的面積和周長．設 ．則下面關於 的說法中，正確的是( )．
(A) 均為常值 (B) 為常值， 不為常值
(C) 不為常值， 為常值 (D) 均不為常值
2．已知 為實數，且 是關於 的方程 的兩根．則 的值為( )．
(A) (B) (C) (D)1
3．關於 的方程 僅有兩個不同的實根．則實數 的取值範圍是( )．
(A)a＞0 (B)a≥4 (C)2＜a＜4 (D)0＜a＜4
4．設 則實數 的大小關系是( )．
(A) (B) (C) (D)
5． 為有理數，且滿足等式 ,則 的值為( )．
(A)2 (B)4 (C)6 (D)8
6．將滿足條件“至少出現壹個數字0且是4的倍數的正整數”從小到大排成壹列數：20，40，60，80，100，104，…．則這列數中的第158個數為( )．
(A)2000 (B)2004 (C)2008 (D)2012
二、填空題(每小題7分，***28分)
1．函數 的圖像與 軸交點的橫坐標之和等於 ．
2．在等腰 中，AC=BC=1，M是BC的中點，CE⊥AM於點E，交AB於點F，則S△MBF= 。
3．使 取最小值的實數 的值為 ．
4．在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點坐標分別為O(0，0)、A(100，0)、B(100，100)、C(0，100)．若正方形0ABC內部(邊界及頂點除外)壹格點P滿足 。
就稱格點P為“好點”．則正方形OABC內部好點的個數為 ．
註：所謂格點，是指在平面直角坐標系中橫、縱坐標均為整數的點．
第二試
A卷
壹、(20分)已知關於 的壹元二次方程 無相異兩實根．則滿足條件的有序正整數組 有多少組?
二、(25分)如圖l，D為等腰△ABC底邊BC的中點，E、F分別為AC及其延長線上的點．已知∠EDF=90°．ED=DF=1，AD=5．求線段BC的長．
三、(25分)如圖2，在平行四邊形ABCD中，∠A的平分線分別與BC、DC的延長線交於點E、F，點O、O1分別為△CEF、△ABE的外心．求證：
(1)O、E、O1三點***線；
(2)
B卷
壹、(20分)同A卷第壹題．
二、(25分)同A卷第二題．
三、(25分)如圖2，在平行四邊形ABCD中，∠A的平分線分別與BC、DC的延長線交於點E、F，點O、O1分別為△CEF、△ABE的外心．
(1)求證：O、E、01三點***線；
(2)若 求 的度數．
C卷
壹、(20分)同A卷第二題．
二、(25分)同B卷第三題．
三、(25分)設 為正整數，且 ．在平面直角坐標系中，點 和點 的連線段通過 個格點 ．證明：
(1)若 為質數，則在原點O(0，0)與點 的連線段 上除端點外無其他格點；
(2)若在原點O(0，0)與點 的連線段 上除端點外無其他格點，則p為質數．