★重點★壹元壹次、壹元二次方程，二元壹次方程組的解法;方程的有關應用題（特別是行程、工程問題）
☆ 內容提要☆
壹、 基本概念
1．方程、方程的解（根）、方程組的解、解方程（組）
2． 分類：
二、 解方程的依據—等式性質
1．a=b←→a+c=b+c
2．a=b←→ac=bc (c≠0)
三、 解法
1．壹元壹次方程的解法：去分母→去括號→移項→合並同類項→
系數化成1→解。
2． 元壹次方程組的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法
②加減法
四、 壹元二次方程
1．定義及壹般形式：
2．解法：⑴直接開平方法（註意特征）
⑵配方法（註意步驟—推倒求根公式）
⑶公式法：
⑷因式分解法（特征：左邊=0）
3．根的判別式：
4．根與系數頂的關系：
逆定理：若 ，則以 為根的壹元二次方程是： 。
5．常用等式：
五、 可化為壹元二次方程的方程
1．分式方程
⑴定義
⑵基本思想：
⑶基本解法：①去分母法②換元法（如， ）
⑷驗根及方法
2．無理方程
⑴定義
⑵基本思想：
⑶基本解法：①乘方法（註意技巧！！）②換元法（例， ）⑷驗根及方法
3．簡單的二元二次方程組
由壹個二元壹次方程和壹個二元二次方程組成的二元二次方程組都可用代入法解。
六、 列方程（組）解應用題
壹概述
列方程（組）解應用題是中學數學聯系實際的壹個重要方面。其具體步驟是：
⑴審題。理解題意。弄清問題中已知量是什麽，未知量是什麽，問題給出和涉及的相等關系是什麽。
⑵設元（未知數）。①直接未知數②間接未知數（往往二者兼用）。壹般來說，未知數越多，方程越易列，但越難解。
⑶用含未知數的代數式表示相關的量。
⑷尋找相等關系（有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量關系給出），列方程。壹般地，未知數個數與方程個數是相同的。
⑸解方程及檢驗。
⑹答案。
綜上所述，列方程（組）解應用題實質是先把實際問題轉化為數學問題（設元、列方程），在由數學問題的解決而導致實際問題的解決（列方程、寫出答案）。在這個過程中，列方程起著承前啟後的作用。因此，列方程是解應用題的關鍵。
二常用的相等關系
1． 行程問題（勻速運動）
基本關系：s=vt
⑴相遇問題(同時出發)：
+ = ;
⑵追及問題（同時出發）：
若甲出發t小時後，乙才出發，而後在B處追上甲，則
⑶水中航行： ;
2． 配料問題：溶質=溶液×濃度
溶液=溶質+溶劑
3．增長率問題：
4．工程問題：基本關系：工作量=工作效率×工作時間（常把工作量看著單位“1”）。
5．幾何問題：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形及有關比例性質等。
三註意語言與解析式的互化
如，“多”、“少”、“增加了”、“增加為（到）”、“同時”、“擴大為（到）”、“擴大了”、……
又如，壹個三位數，百位數字為a，十位數字為b，個位數字為c，則這個三位數為：100a+10b+c，而不是abc。
四註意從語言敘述中寫出相等關系。
如，x比y大3，則x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x與y的差為3，則x-y=3。五註意單位換算
如，“小時”“分鐘”的換算;s、v、t單位的壹致等。
七、應用舉例（略）
第六章 壹元壹次不等式（組）
★重點★壹元壹次不等式的性質、解法
☆ 內容提要☆
1． 定義：a＞b、a＜b、a≥b、a≤b、a≠b。
2． 壹元壹次不等式：ax＞b、ax＜b、ax≥b、ax≤b、ax≠b(a≠0)。
3． 壹元壹次不等式組：
4． 不等式的性質：⑴a>b←→a+c>b+c
⑵a>b←→ac>bc(c>0)
⑶a>b←→ac<bc(c<0)
⑷（傳遞性）a>b,b>c→a>c
⑸a>b,c>d→a+c>b+d.
5．壹元壹次不等式的解、解壹元壹次不等式
6．壹元壹次不等式組的解、解壹元壹次不等式組（在數軸上表示解集）
方程的應用問題的教學可以說貫穿了整個小學高年級學段和初中學段，在學生的數學學習活動中占有相當重要的地位（整個初中段方程及其應用題的教學學時為41學時，約占整個初中數學學時的11.5％），而壹元壹次方程應用題的教學，又是所有方程應用題教學中最基礎的起始部分，因此，這壹部分內容的教學成功，對後續包括二元壹次方程組的應用、壹元二次方程的應用的教學有著至關重要的作用。但由於初中壹年級這壹階段學生的機械記憶力較強，分析能力卻相對仍然較弱，因此，要提高初壹年級數學應用題教學效果，除了要逐步提高學生的數學分析能力，及時地給學生以解題方法論的指導，也是每壹位數學教師必須考慮和認真探索的問題。
顯然，列方程解應用題的關鍵在於由題目中隱含的等量關系列出相應的方程。筆者通過多年的教學實踐，認為初中數學應用題的教學基本可有如下幾種方法：
壹、直列法。即由題中的“和”、“少”、“倍”等表示數量關系的字眼，直接列出相關的方程。
例1 在甲處勞動的有27人，在乙處勞動的有19人，現在另調20人去支援，使在甲處人數為在乙處的人數的2倍，應調往甲、乙兩處各多少人？
分析：顯然，人員調動完成後，甲處人數＝2×乙處人數。
解：設調x人到甲處，則調（20-x）人到乙處，由題意得：
27+x=2(19+20-x)，
解之得x＝17
∴20-x＝20－17＝3（人）
答：應調往甲處17人，乙處3人。
二、公式法。學生熟識的公式諸如“路程＝速度×時間”、“工作總量＝工作效率×工作時間”、“利潤＝售價－進價”、“利潤率＝利潤/進價”等都是解答相關方程應用題的工具。
例2 商品進價1800元，原價2250元，要求以利潤率不低於5%的售價打折出售，則此商品最低可打幾折出售？
分析：根據利潤率公式，列出方程即可。
解：設最低可打x折。據題意有：
5%=（2250x-1800）/1800，
解之得x＝0.84
答：最低可打8.4折。
三、總分法。即根據總量等於各分量之和來列出方程，用此法要註意分量不可有所遺漏。
例3 “過路的人！這兒埋葬著丟番圖。請計算下列題目，便可知他壹生經過了多少寒暑。他壹生的六分之壹是幸福的童年，十二分之壹是無憂無慮的少年。再過去七分之壹的年程，他建立了幸福的家庭。五年後兒子出生，不料兒子竟先其父四年而終，只活到父親歲數的壹半。晚年喪子老人真可憐，悲痛之中度過了風燭殘年。請妳算壹算，丟番圖活到多大，才和死神見面？”
分析：本題即是著名的丟番圖的“墓誌銘”，題中巧妙地把丟番圖的總年齡劃分為了幾個部分，解題時只需運用其總年齡＝各部分年齡的和即可得出解答。
解：設丟番圖活了x年。據題意可得：
x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4
解之得x＝84
答：丟番圖***活了84歲。
由此題的解答，我們還可知道古希臘的這位大數學家丟番圖33歲結婚，38歲得子，80歲死了兒子，兒子活了42歲等。
四、同壹法。這類題目的解題原理是：如果同壹個量能用兩個不同的代數式表達，則這兩個代數式必然相等。
例4 壹隊學生從學校出發去部隊軍訓，行進速度是5千米/時，走了4.5千米時，壹名通訊員按原路返回學校報信，然後他隨即追趕隊伍，通訊員的速度是14千米/時，他在距離部隊6千米處追上隊伍，問學校到部隊的距離是多少？（報信時間忽略不計）
分析：該題的解答關鍵在於，通訊員從返回學校到追上隊伍所用時間與隊伍走了4.5千米到距離部隊6千米這段路程所用時間是相等的（同壹段時間）。
解：設學校到部隊的距離是x千米。據題意得：
(x-4.5-6)/5=(x+4.5-6)/14，
解之得：x＝15.5
答：學校到部隊的距離是15.5千米。
當然，以上四種方法不是孤立使用的，如例4的解答必然要用到公式：“路程＝速度×時間”。並且壹個題目的解法往往也不是唯壹的，如例1的解答也可以用總分法：
解：設人員分配後乙處人數為x人，甲處為2x人。分配後的總人數為27+19+20＝66人，據題意有：
x+2x＝27+19+20，
解之得x＝22，
∴2x＝44，故44－27＝17（人），22－19＝39（人）
答：應調往甲處17人，乙處3人。
可見，方程應用題方法論的訓練，不僅使大多數學生在解答相關問題時能“按圖索驥”，而且對於培養學生思維的發散性和多元性也有著重要意義，使壹題多解成為可能。
壹元壹次方程應用題歸類匯集：
（壹）行程問題：
1.從甲地到乙地，某人步行比乘公交車多用3.6小時，已知步行速度為每小時8千米，公交車的速度為每小時40千米，設甲乙兩地相距x千米，則列方程為________________。
2.甲、乙兩人在相距18千米的兩地同時出發，相向而行，1小時48分相遇，如果甲比乙早出發40分鐘，那麽在乙出發1小時30分時兩人相遇，求甲、乙兩人的速度。
3. 某人從家裏騎自行車到學校。若每小時行15千米，可比預定的時間早到15分鐘；若每小時行9千米，可比預定的時間晚到15分鐘；求從家裏到學校的路程有多少千米？
4.在800米跑道上有兩人練中長路，甲每分鐘跑320米，乙每分鐘跑280米，兩人同時同地同向起跑，t分鐘後第壹次相遇，t等於 分鐘．
5.壹列客車長200 m,壹列貨車長280 m,在平行的軌道上相向行駛,從兩車頭相遇到兩車尾相離經過16秒,已知客車與貨車的速度之比是3∶2,問兩車每秒各行駛多少米?
時鐘問題：
10.在6點和7點間，何時時鐘分針和時針重合？（教材復習題）
行船問題：
12. 壹艘船在兩個碼頭之間航行，水流速度是3千米每小時，順水航行需要2小時，逆水航行需要3小時，求兩碼頭的之間的距離？
13.壹架飛機飛行在兩個城市之間，風速為每小時24千米，順風飛行需要2小時50分鐘，逆風飛行需要3小時，求兩城市間距離。
（二）工程問題：
1.壹項工程，甲單獨做需要10天完成，乙單獨做需要15天完成，兩人合作4天後，剩下的部分由乙單獨做，需要幾天完成？
2.某工程由甲、乙兩隊完成，甲隊單獨完成需16天，乙隊單獨完成需12天。如先由甲隊做4天，然後兩隊合做，問再做幾天後可完成工程的六分之五？
3.已知某水池有進水管與出水管壹根，進水管工作15小時可以將空水池放滿，出水管工作24小時可以將滿池的水放完；
（1）如果單獨打開進水管，每小時可以註入的水占水池的幾分之幾？
（2）如果單獨打開出水管，每小時可以放出的水占水池的幾分之幾？
（3）如果將兩管同時打開，每小時的效果如何？如何列式？
（4）對於空的水池，如果進水管先打開2小時，再同時打開兩管，問註滿水池還需要多少時間？
（三）和差倍分問題（生產、做工等各類問題）：
1.整理壹批圖書，由壹個人做要40小時完成。現計劃由壹部分人先做4小時，再增加2人和他們壹起做8小時，完成這項工作。假設這些人的工作效率相同，具體先安排多少人工作。
2.嶽池縣城某居民小區的水、電、氣的價格是: 水每噸1.55元, 電每度0.67元, 天然氣每立方米1.47元. 某居民戶在2006年11月份支付款67.54元, 其中包括用了5噸水、35度電和壹些天然氣的費用, 還包括交給物業管理4.00元的服務費. 問該居民戶在2006年11月份用子多少立方米天然氣?
3.已知:我市出租車收費標準如下：乘車裏程不超過2公裏的壹律收費2元；乘車裏程超過2公裏的，除了收費2元外超過部分按每公裏1.4元計費.
（1）如果有人乘出租車行駛了x公裏（x>2）,那麽他應付多少車費？（列代數式，不化簡）（8分）
（2）某遊客乘出租車從客運中心到三星堆，付了車費10.4元，試估算從客運中心到三星堆大約有多少公裏？
比賽積分問題：
10.某企業對應聘人員進行英語考試，試題由50道選擇題組成，評分標準規定：每道題的答案選對得3分，不選得0分，選錯倒扣1分。已知某人有5道題未作，得了103分，則這個人選錯了 道題。
11.某學校七年級8個班進行足球友誼賽，采用勝壹場得3分，平壹場得1分，負壹場得0分的記分制。某班與其他7個隊各賽1場後，以不敗的戰績積17分，那麽該班***勝了幾場比賽？
年齡問題：
12.甲比乙大15歲，5年前甲的年齡是乙的年齡的兩倍，乙現在的年齡是________.
13.小華的爸爸現在的年齡比小華大25歲，8年後小華爸爸的年齡是小華的3倍多5歲，求小華現在的年齡
比例問題：
14.圖紙上某零件的長度為32cm，它的實際長度是4cm，那麽量得該圖紙上另壹個零件長度為12cm，求這個零件的實際長度。
15.壹時期，日元與人民幣的比價為25.2：1，那麽日元50萬，可以兌換人民幣多少元？
16.魏老師到市場去買菜，發現若把10千克的菜放到秤上，指針盤上的指針轉了180°.如圖，第二天魏老師就給同學們出了兩個問題：
（1）如果把0.5千克的菜放在秤上，指針轉過多少角度?
（2）如果指針轉了540，這些菜有多少千克?