關鍵詞 排隊論; 隨機模型； 醫院管理
醫院是壹個復雜的系統，病人從掛號、就診、劃價、取藥每壹個服務機構，當某項服務的現有需求超過提供該服務的現有能力時，排隊現象就會發生，由於患者到達的時間和診治患者所需時間的隨機性，可控性小，排隊幾乎是不可避免的，當診室不足時，常出現患者排隊等待時間太長,患者滿意度下降，醫務人員工作過於忙亂，易出差錯引起醫患糾紛，對患者和社會都會帶來不良影響。因此如何合理科學安排醫護人員及其醫療設備，使醫院不會盲目增加醫生和設備造成不必要的空閑，形成資源浪費，又使患者排隊等待時間盡可能減少，如何在這兩者之間取得平衡,以便提高服務質量,降低服務費用，這是現代醫院管理者必須面對的課題。
排隊論模型（quening theory model）,是通過數學方法定量地、對壹個客觀復雜的排隊系統的結構和行為進行動態模擬研究，科學、準確地描述排隊系統的概率規律，排隊論也是運籌學的壹個重要的分支學科〔1，2〕。在醫院管理中，如果在排隊論的基礎上，對醫院門診、診室的排隊系統的結構和行為進行科學的模擬和系統的研究。從而對診室和醫生安排進行最優設計，以獲得反映其系統本質特征的數量指標結果,進行預測、分析或評價，最大限度地滿足患者及其家屬的需求，將有效避免資源浪費。
1 隨機模型
1.1 系統描述
以醫院門診為研究對象，它有如下特征：
① 輸入過程:患者的到達是相互獨立，相繼到達的時間間隔是隨機的；壹定時間的到達服從Poisson分布。
② 排隊規則:從先到先服務,且為等待制,即患者到達時所有診室和醫生都沒有空閑,他們就要排隊等待。
③ 服務時間:患者診治時間是相互獨立的,服從負指數分布。
④ 服務窗口:多服務臺,C個服務臺並聯排列,各服務臺獨立工作。
1.2 模型假設及建立
假設患者平均到達率為λ，單個服務臺的平均服務率（表示單位時間被服務完的患者數）為μ，整個服務機構的平均服務率cμ；系統的服務強度ρ=λ/cμ<1時才不會排成無限的隊列（服務臺的平均利用率），pn(c)為C個服務臺任意時刻系統中有n個患者的概率；當到達率為λ，服務率為cμ的生滅過程達到穩態時，可得：
p0(c)=〔∑c-1k=01k!(λμ)k+1c! 1(1-ρ) (λμ)c〕-1（1）
pn(c)=1n!(λμ)np0(c), n=1,2,…,c
1c!cn-c (λμ)np0(c), n=c+1,…（2）
當系統達到平衡狀態時，每個患者在系統中等待時間W的均值為：
E(W)=pn(c)cμ(1-ρ)2=nμn!(nμ-λ)2 (λμ)np0(c)（3）
排隊逗留的人數Ls=Lq+cρ=1c! (cρ)cρc!(1-ρ)2p0+λμ(4)
1.3 排隊系統的最優化
在排隊系統中，患者希望服務臺越多、服務效率越高、逗留時間越短越好，使自己的損失達最小，為此醫院就要增加醫生和設備，而醫院也不可能無限投入。為此就需要優化設計，其目的就是使患者損失費用和醫院服務成本之和達到最小。假設服務臺的個數為c，cs為每個服務臺單位時間服務臺的成本費，cw為每個患者在系統中逗留單位時間的費用，總成本Z（c）（單位時間總費用的期望值，它是服務臺的個數為c的函數），則目標函數minz(c)=Csc+CwLs(c) ，其中Ls為逗留的人數（公式（4）），c只能取整數，設c*是使目標函數c取最小值的點，c*滿足
z(c*-1)≤z(c*)=csc*+cwLs(c*)≤z(c*+1), Ls=Ls(c)
化簡得 Ls(c*)-Ls(c*+1)≤cscw≤Ls(c*-1)-Ls(c*)(5)
通過計算機模擬依次算出Ls(1),Ls(2),Ls(3),… 相鄰兩項之差，看常數落在哪兩者之間，從而確定使患者損失費用和醫院服務成本之和達到最優化服務臺個數c的最優解C*。
1.4 關於服務方案問題優化
當患者平均到達率上升引起服務強度增加致使平均隊長L太大，甚至由於服務強度ρ>1使隊長趨向無限時,在平均服務率不變的情況下就只能增加服務臺。下面討論有2個服務臺且他們的平均服務率相等的情況。
2個服務臺的排隊服務有兩種形式分別如下兩圖所示：
圖1只排壹個隊是壹個M/M/2模型，圖2排兩個隊，且入隊後不能換隊，是2個M/M/1模型。
圖1（略）
圖2（略）
我們可以知道，2個服務臺的兩種服務形式平均隊長L，等待時間W之比為：
2L1L2=W1W2=1+ρ2 （ρ2=λ2μ<1)
就人們最關心的等待時間而言有1
同理可證明：在有多個並列服務臺的排隊系統中，排成單隊比排成並列多隊的方案具有顯著的優越性。對於設置多個服務員的隨機過程, 如果僅從等待時間角度考慮應該讓患者只排壹個隊。
2 實例分析
某醫院手術室為掌握隨機服務情況，統計了100h病人就診和完成手術的數據，如下表所示：（略）
① 計算相應數量指標;
② 如果該醫院還想建壹個規模相同的手術室，問是否合理？
借助MATLAB軟件：
1）首先算出每h病人平均到達率λ=∑nfn/100=210/100=2.1（h/人），手術平均時間1/μ=∑vfv/100=40/100=0.4 （人/h），每小時完成手術人數μ=1/0.4=2.5；用擬合優度的χ2=∑6n=0(fn-100pn)100pn檢驗平均到達率λ=2.1是否符合Poisson分布；
算出χ2=3.06,取α=0.05 得臨界值χ2α=11，因為χ2α=11>χ2=3.06, 所以接受到達率服從參數λ=2.1的Poisson分布。同理可檢驗手術時間服從參數2.5的指數分布。用以上公式排隊系統的主要數量指標如下；
系統中病人數5.25 ( 人)排隊等待病人數 4.41 (人)病人逗留時間 2.5 (h)排隊等待時間 2.1 (h) 服務強度ρ=λ/μ=0.84 病人時間損失系數 5.25 手術室空閑時間的概率0.16繁忙時間的概率pn=0.84
② 計算 服務強度ρ=λ/cμ=0.42<1 增加壹個規模相同的手術室後的數量指標
系統中病人數1.02 ( 人)排隊等待病人數 0.18 (人)病人逗留時間 0.48 (h)排隊等待時間 0.08 (h) 兩個手術室空閑時間的概率0.4只有壹個手術室空閑的概率p1=0.34病人不必等待的概率0.74病人必須等待的概率0.26
根據以上數據指標可得：科室只有壹個手術室病人等待時間是手術時間的5.25倍；手術室84%的時間是繁忙的,只有16%是空閑的。若再增加壹個手術室被利用的概率是42%，空閑的概率是58%，兩個手術室空閑時間的概率0.4，兩個手術室只有壹個空閑的概率34%。根據以上數據決策者可決定是否增加壹個手術室，從而為管理者提供決策支持的工具。
3 結語
到醫院就診排隊是壹種司空見慣的現象，由於患者到達和醫療服務時間的隨機性，患者來源數量在理論上是無限的，而醫療資源是有限的，如何在有限資源配置下，利用上述排隊模型理論和計算機模擬，結合患者的服務記錄獲得的相關數據，對其做出定性、定量的數量指標，進而進行預測、分析和評價，通過優化設計，實施動態管理，根據醫院的實力，完善設施和配備，合理增加醫護人員的數量，提高醫生的診療技術水平，有效縮短平均診療時間及其波動程度，提高效率，縮短等候時間，統壹診療程序，為患者排憂解難。顯然，應用排隊論，壹方面可以有效地解決醫院服務系統中人員和設備的配置問題,為醫院管理提供可靠的決策依據；另壹方面通過系統優化,找出患者與醫院兩者之間的平衡點，既減少患者排隊等待時間，又不浪費醫院人力物力，從而獲取最大的社會效益和經濟效益。
參考文獻
1 韓伯棠. 管理運籌學. 北京: 高等教育出版社, 2005，307～322.
2 姜啟源. 數學模型. 北京: 高等教育出版社, 1993，456～467.
3 邊馥萍,侯文華,梁馮珍. 數學模型方法與算法. 北京:高等教育出版社, 2005，262～276.