二次曲線的壹般方程是：Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0
這個方程表示什麽呢？——表示所有的二次曲線，包括圓、橢圓、雙曲線、拋物線、點、雙直線圖形和無軌跡。這些圖形可以是任意平移旋轉過的。
如果給定方程Ax^2+By^2+Cxy+Dx+Ey+F=0，要判斷曲線類型，這時候直接看是不容易看出來的，就需要做壹些處理。
（1）先考慮退化的曲線——雙直線和點，當且僅當行列式Det3=
|A C/2 D/2|
|C/2 B E/2 | = 0 時,
|D/2 E/2 F |
二次曲線是退化的。這時，如果det2=AB-C^2/4=0則是橢圓退化成了壹點；如果不等於0，就是直線。
如果是直線，先把A化成正的，
①平行或重合直線，由(ax+by+c)(ax+by+d)=0展開對比得，AB是同號的。
當D/E=√(A/B)或者是D√B=E√A，且C=2√(AB)時，兩直線斜率壹樣，此時，若2F=D/√A或2F=E/√B，則重合，否則平行。如果要求直線，則a=√A，b=√B，c+d=D/√A=E/√B，cd=F
②相交直線，不符合①的雙直線就是相交直線，如果A=-B，則分解因式驗證其是否垂直。
（2）對於非退化的二次曲線，Det3≠0，這時看
Det2=
|A C/2|
|C/2 B |
即Det2=AB-C^2/4
Det2>0，橢圓，如果A=B則是圓；如果Det1=A+B>0（先把A化成正的）、且Det3>0，則是無軌跡的圖形(不算退化)。
Det2<0，雙曲線；
Det2=0，拋物線。
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再說壹下退化，對於標準形式，
橢圓左右各除以無窮大，就有x^2/a^2+y^2/b^2=0，就退化成了壹點。
雙曲線退化，x^2/a^2-y^2/b^2=0，退化為相交雙直線，也就是她的漸近線。
拋物線退化，y^2=a，退化成了平行或重合的雙直線。
三種曲線和他們的退化形式，經過旋轉和平移，上文Det1、Det2、Det3的符號特征是不變的，所以可以這樣判斷，這三個值，稱為二次曲線的不變量。