橢圓曲線在密碼學中的使用，是1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分別獨立提出的。
壹般情況下，橢圓曲線可用下列方程式來表示，其中a,b,c,d為系數。
例如，當a=1,b=0,c=-2,d=4時，所得到的橢圓曲線為:
該橢圓曲線E的圖像如圖X-1所示，可以看出根本就不是橢圓形。
過曲線上的兩點A、B畫壹條直線，找到直線與橢圓曲線的交點，交點關於x軸對稱位置的點，定義為A+B，即為加法。如下圖所示：A + B = C
上述方法無法解釋A + A，即兩點重合的情況。因此在這種情況下，將橢圓曲線在A點的切線，與橢圓曲線的交點，交點關於x軸對稱位置的點，定義為A + A，即2A，即為二倍運算。
將A關於x軸對稱位置的點定義為-A，即橢圓曲線的正負取反運算。如下圖所示：
如果將A與-A相加，過A與-A的直線平行於y軸，可以認為直線與橢圓曲線相交於無窮遠點。
綜上，定義了A+B、2A運算，因此給定橢圓曲線的某壹點G，可以求出2G、3G（即G + 2G）、4G......。即：當給定G點時，已知x，求xG點並不困難。反之，已知xG點，求x則非常困難。此即為橢圓曲線加密算法背後的數學原理。
橢圓曲線要形成壹條光滑的曲線，要求x,y取值均為實數，即實數域上的橢圓曲線。但橢圓曲線加密算法，並非使用實數域，而是使用有限域。按數論定義，有限域GF(p)指給定某個質數p，由0、1、2......p-1***p個元素組成的整數集合中定義的加減乘除運算。
假設橢圓曲線為y? = x? + x + 1，其在有限域GF(23)上時，寫作： y? ≡ x? + x + 1 (mod 23)
此時，橢圓曲線不再是壹條光滑曲線，而是壹些不連續的點，如下圖所示。以點(1,7)為例，7? ≡ 1? + 1 + 1 ≡ 3 (mod 23)。如此還有如下點：
(0,1) (0,22) (1,7) (1,16) (3,10) (3,13) (4,0) (5,4) (5,19) (6,4) (6,19) (7,11) (7,12) (9,7) (9,16) (11,3) (11,20) 等等。
另外，如果P(x,y)為橢圓曲線上的點，則-P即(x,-y)也為橢圓曲線上的點。如點P(0,1)，-P=(0,-1)=(0,22)也為橢圓曲線上的點。
相關公式如下： 有限域GF(p)上的橢圓曲線y? = x? + ax + b，若P(Xp, Yp), Q(Xq, Yq)，且P≠-Q，則R(Xr,Yr) = P+Q 由如下規則確定：
Xr = (λ? - Xp - Xq) mod p Yr = (λ(Xp - Xr) - Yp) mod p 其中λ = (Yq - Yp)/(Xq - Xp) mod p（若P≠Q）, λ = (3Xp? + a)/2Yp mod p（若P=Q）
因此，有限域GF(23)上的橢圓曲線y? ≡ x? + x + 1 (mod 23)，假設以(0,1)為G點，計算2G、3G、4G...xG等等，方法如下：
計算2G： λ = (3x0? + 1)/2x1 mod 23 = (1/2) mod 23 = 12 Xr = (12? - 0 - 0) mod 23 = 6 Yr = (12(0 - 6) - 1) mod 23 = 19 即2G為點(6,19)
計算3G： 3G = G + 2G，即(0,1) + (6,19) λ = (19 - 1)/(6 - 0) mod 23 = 3 Xr = (3? - 0 - 6) mod 23 = 3 Yr = (3(0 - 3) - 1) mod 23 = 13 即3G為點(3, 13)
建立基於橢圓曲線的加密機制，需要找到類似RSA質因子分解或其他求離散對數這樣的難題。而橢圓曲線上的已知G和xG求x，是非常困難的，此即為橢圓曲線上的的離散對數問題。此處x即為私鑰，xG即為公鑰。
橢圓曲線加密算法原理如下：
設私鑰、公鑰分別為k、K，即K = kG，其中G為G點。
公鑰加密： 選擇隨機數r，將消息M生成密文C，該密文是壹個點對，即： C = {rG, M+rK}，其中K為公鑰
私鑰解密： M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M 其中k、K分別為私鑰、公鑰。
橢圓曲線簽名算法，即ECDSA。 設私鑰、公鑰分別為k、K，即K = kG，其中G為G點。
私鑰簽名： 1、選擇隨機數r，計算點rG(x, y)。 2、根據隨機數r、消息M的哈希h、私鑰k，計算s = (h + kx)/r。 3、將消息M、和簽名{rG, s}發給接收方。
公鑰驗證簽名： 1、接收方收到消息M、以及簽名{rG=(x,y), s}。 2、根據消息求哈希h。 3、使用發送方公鑰K計算：hG/s + xK/s，並與rG比較，如相等即驗簽成功。
原理如下： hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s = r(h+xk)G / (h+kx) = rG
假設要簽名的消息是壹個字符串：“Hello World!”。DSA簽名的第壹個步驟是對待簽名的消息生成壹個消息摘要。不同的簽名算法使用不同的消息摘要算法。而ECDSA256使用SHA256生成256比特的摘要。
摘要生成結束後，應用簽名算法對摘要進行簽名：
產生壹個隨機數k
利用隨機數k，計算出兩個大數r和s。將r和s拼在壹起就構成了對消息摘要的簽名。
這裏需要註意的是，因為隨機數k的存在，對於同壹條消息，使用同壹個算法，產生的簽名是不壹樣的。從函數的角度來理解，簽名函數對同樣的輸入會產生不同的輸出。因為函數內部會將隨機值混入簽名的過程。
關於驗證過程，這裏不討論它的算法細節。從宏觀上看，消息的接收方從簽名中分離出r和s，然後利用公開的密鑰信息和s計算出r。如果計算出的r和接收到的r值相同，則表示驗證成功。否則，表示驗證失敗。