內心、外心、重心、垂心定義及性質總結如下:
1、垂心:
〈1〉定義:是三角形三條高的交點。
〈2〉性質:
[性質1]?銳角三角形的垂心在三角形內;直角三角形的垂心在直角頂點上;鈍角三角形的垂心在三角形外。
[性質2]?三角形的垂心是它垂足三角形的內心;或者說,三角形的內心是它旁心三角形的垂心。
[性質3]?垂心O關於三邊的對稱點,均在△ABC的外接圓圓上。
2、內心
〈1〉定義:是三角形三條內角平分線的交點即內接圓的圓心。
即AE、BF、CD分別平分角BAC、角ABC、角BCA,且AE、BF與CD相交於點O,點O即為△ABC的內心。
〈2〉性質:
[性質1]三角形的內心到三邊的距離相等,都等於內切圓半徑r。
[性質2]∠BOC=90°+∠BAC/2。
[性質3]在Rt△ABC中,∠A=90°,三角形內切圓切BC於D,則S△ABC=BDxCD
3、重心:
〈1〉重心的定義:重心是三角形三條中線的交點。
〈2〉重心的性質:
[性質1]三角形的重心到邊的中心與到這條邊所對的頂點的距離之比為1:2,即OD:OA = 1:2。
OE:OC = 1:2。
OF:OB = 1:2。
[性質2]重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等,即S△AOB=S△BOC=S△AOC。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。
[性質3]重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
[性質4]在平面直角坐標系中,重心的坐標是頂點坐標的算術平均數。即在△ABC中,若點A(X1、Y1)、B(X2、Y2)、C(X3、Y3),則其重心點O的坐標為{(X1+Ⅹ2+X3)/3、(Y1+Y2+Y3)/3}。
4、外心:
〈1〉外心的定義:外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點,即外接圓的圓心。
〈2〉外心的性質:
[性質1]若O是△ABC的外心,則∠BOC=2∠A(∠A為銳角或直角)或∠BOC=360°-2∠A(∠A為鈍角)。
[性質2]當三角形為銳角三角形時,外心在三角形內部;當三角形為鈍角三角形時,外心在三角形外部;當三角形為直角三角形時,外心在斜邊上,與斜邊的中點重合。
[性質3]外心到三頂點的距離相等,即OA=OB=OC。