7.1.1 巖、礦石在電磁場中的電學性質
在交變電磁場中，巖、礦石除顯示與電阻率有關的傳導電流外，還顯示與介電常數有關的位移電流。因此，總電流密度為
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jP和jD分別表示傳導電流密度和位移電流密度，且有
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式中：D為觀測點的電位移；E為電場強度。
設E為諧變場，E=E0e-iωt，則jD=-iωεE，於是（7.1-1）式變為
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定義j=σ*E，則有復電導率σ*
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或復電阻率ρ*
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定義j=-iωε*E，則有復介電常數ε*
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上式中虛部對實部的比給出了稱為介質的“電磁系數（m）”或“損耗角正切（tanδ）”的物理量，即
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式中：εr為相對介電常數（εr=ε/ε0，ε0≈8.85×10-12 F/m.為其空中的介電常數）。
我們知道，任何介質都不同程度地具有導電性和介電性，結果是導致了部分電磁能量轉變為熱量而損耗，損耗角δ就是衡量這壹損耗的參數。它的另壹功能（用電磁系數m表示）則是表明介質的性質。tanδ（或m）=1，表示傳導電流和位移電流具有同等重要性，即介質導電性和介電性相當。tanδ（或m）＞1表示產生熱損耗的傳導電流變得更重要，介質類似於導電體。tanδ（或m）＜1，表示產生熱損耗的位移電流變得更重要。介質類似於介電體。m=1對應的頻率很重要，它區分了導電體和介電體，故稱這個頻率為臨界頻率。
由表7-1可見，絕大多數造巖礦物的相對介電常數不超過10～11。然而，壹些氧化物、硫化物和碳酸鹽的εr值可達20甚至80～170（如金紅石）。火成巖的εr變化範圍為7～15，其中基性巖和超基性巖相對偏高，酸性巖相對較低，變質巖的εr在5～17範圍內變化，而沈積巖變化範圍較寬（2.5～40）。除礦物成分是影響堅固和幹燥的巖石εr的重要因素外，對廣泛分布的巖石，尤其是沈積巖，影響相對介電常數的主要因素是濕度，且水分子的極化是介質極化的主要原因。對大多數疏松沈積巖而言，相對介電常數隨巖石濕度的增大而增大，見圖7-1。由圖可見，隨著濕度的增加，εr壹開始很快增加，最後達到飽和值100。在低頻電場中，濕度較低（1%）條件已出現εr的急劇上升；而在高頻電場中，當濕度很高（10%～30%）時才出現εr的急劇上升。
表7-1 20 ℃條件下巖、礦石相對介電常數的損耗角正切
由（7.1-4）式可得到復電阻率的振幅
圖7-1 不同頻率條件下石英砂的εr與濕度W（%）的關系曲線（虛線表示假設曲線）
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從上式可以看出，當 m≥10時，近似地|ρ*|不隨頻率變化，即
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當m≤0.1時，ρ*反比於頻率，即
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此式表明了完全介電體的導電性，在雙對數坐標系中是壹條斜率為-1的直線，相當於完全幹燥的巖石標本情況。在臨界頻率之前，復電阻率為壹水平線，是導電性的特征，巖石中含有水分時的離子導電就是這壹情況。
圖7-2是濕態和幹態輝長巖的相對介電常數、損耗角正切、電阻率等參數與頻率依賴關系的標本測量曲線。由圖可見，隨著頻率的增高，濕態標本的介電常數和損耗角下降，且趨近於幹態的常數值。相反，對復電阻率曲線而言，濕態標本的電阻率從105～106 Hz開始下降，並趨近於幹態的45°角漸近線。這壹頻率可稱為臨界頻率。由此可見，在低頻電磁場（f＜n×1000 Hz）中，可以認為電阻率是不隨頻率變化的。
圖7-2 濕態和幹態輝長巖電性常數頻譜曲線
磁導率是電磁感應法中利用的另壹重要物
性參數，它表征物質在磁化作用下集中磁力線的性質。
眾所周知，磁感應強度B與磁場強度H間存在如下關系
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其中μ為介質的磁導率，或稱絕對磁導率，通常表示為
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式中μ0=4π×10-7 H/m為真空的磁導率；μr為相對磁導率。表7-2列出了幾種常見礦物的μr值。
表7-2 常見礦物的相對磁導率
由表可見，除極少數鐵磁性礦物（磁鐵礦、磁黃鐵礦和鈦鐵礦）外，其他礦物的磁導率μ皆與μ0值相差很小。只當巖石或礦石中含有大量鐵磁性礦物時，其相對磁導率μr才明顯大於1。
7.1.2 交變電磁場在導電介質中的傳播
7.1.2.1 波動方程
麥克斯韋方程組是對電磁場基本定律綜合分析的結果，是介質中電磁場必須遵從的***同規律。在國際單位制中，時間域的麥克斯韋方程組可寫成
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式中E為電場強度（V/m或N/C）；B為磁感應強度（T=N/（A·m）=Wb/m2）；H為磁場強度（A/m）；D為電位移（C/m2）；j為傳導電流密度（A/m2）；q為自由電荷體密度（C/m3）。
考慮到介質對電磁場的影響，還應加上壹組物質方程
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在電導率不為零的均勻介質中，體電荷不能堆積在某壹處，經壹段時間（t＜10-6s）被介質導走，故電法勘探遇到的導電介質中
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這時，應用（7.1-9）式可將麥克斯韋方程組中的五個變量消去三個，並考慮（7.1-10）式，得
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對上式第壹式兩邊做旋度運算，並將第二式代入，得
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利用矢量恒等式▽×▽×H=▽▽·H-▽2H，並考慮（7.1-11）式的第三式，最後得
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同理可得
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（7.1-12）式和（7.1-13）式分別為H和E滿足的時間域的波動方程，又稱之為電報方程。若場的頻率很高並對高阻介質（ρ→∞）而言，則上兩式右端的第壹項可被忽略。這時方程變為純波動性的。相反，在低頻和良導介質（ρ→0）情況下，右端第二項可忽略，方程變為熱傳導性的（或擴散性的）。由此可見，在良導電或強吸收介質中，電磁擾動的傳播是不按波動規律，而是按擴散規律傳播的，類似於熱傳導過程。
在頻率域中討論波動方程同樣具有重要意義，這時最重要的時變函數形式是隨時間諧變的交變電磁場。
令 H=，E=，將這些關系式代入（7.1-11）式，得
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式中ε*=ε+i 為復介電常數。
從（7.1-14）式容易得到諧變電磁場的基本微分方程——亥姆霍茲齊次方程
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式中
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稱為波數或傳播系數，忽略位移電流時
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在求解電磁場邊值問題時，利用壹對矢量H、E很不方便。如果引入壹個矢量位，將使求解過程中未知數減少。由電流源引起的矢量位A是這樣引入的：從▽·H=0出發，又利用恒等式▽·▽×A=0，可令
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將（7.1-18）式代入（7.1-14）式的第二式，得
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由於上式括號中的矢量是無旋的，故可用任意標量的梯度表示，即取
或
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式中U為電磁場的標量位。在直流電場中，由於ω=0，故E=-▽U。
考慮到（7.1-18）式和（7.1-20）式，將（7.1-14）式的第壹式寫成
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或
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將帶有梯度的項歸到壹起，並令其為零
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或
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則
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即為矢量位的亥姆霍茲方程。將（7.1-21）式代入到（7.1-20）式，得
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由此可見，我們只需解壹次矢量位方程（7.1-22），通過（7.1-18）和（7.1-23）的微分運算就可分別得到磁場和電場。這三個式子組成壹方程組
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如果采用磁性激發源（磁偶極子、不接地回線等），則在地中產生渦旋電流。其特點是
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故也可引入磁性源的矢量位A*，即取
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經過類似的推導，可得到相應的方程組
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由方程組（7.1-14）、（7.1-24）和（7.1-26）式不難看出，由電性源方程組轉到磁性源方程組或相反轉換過程的電磁類比關系為
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因此，在許多情況下不壹定分別解電性源和磁性源的正演解，而利用類比關系可直接寫出另壹類解。
7.1.2.2 邊界條件
為了求得波動方程的惟壹解，必須附加邊界條件使之成為定解問題。若有介質1和介質2，它們的電磁學參數分別為μ1、ε1、σ1和μ2、ε2、σ2，在兩種介質分界面上選擇如下直角坐標系：x和y軸位於界面上，z軸垂直於界面。在這種情況下，電場和磁場的切線分量連續，而電位移和磁感應強度的法線分量連續，即
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式中腳標t表示切向分量，n表示法線分量。上式也可具體地寫成
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下面我們將用場矢量的邊界條件來導出電性源矢量位A的邊界條件，推導時只須用E和H，將（7.1-18）和（7.1-23）式代入（7.1-29），得到
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由上式可得出電性源矢量位A的邊界條件
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上式可合並成
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只要以A*代替A，-ε*代替μ，則根據（7.1-27）式，可直接由上式得到磁性源矢量A*的邊界條件
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7.1.2.3 均勻各向同性無限介質中平面電磁波的傳播
波陣面為平面的電磁波稱為平面電磁波。若場量（電場E或磁場H）只沿著它的傳播方向變化，而在這壹平面內無變化（振幅為常量），則稱為均勻平面波，否則為非均勻平面波。
在電阻率為ρ的均勻各向同性無限介質中選擇如下的坐標系統：x和y位於波的極化平面上，z軸位於波的傳播方向上，由於xoy平面上場的振幅相同，故?Ai/?x=?Ai/?y=0（i=x，y，z），式（7.1-22）簡化為
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顯然，上式的解為
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式中第壹項為正向波，表示振幅隨遠離場源而逐漸衰減，第二項是被反射的負向波。由於介質為均勻各向同性無限介質，故不可能出現負向波，即C2=0，故最終解為
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由（7.1-24）式可寫出H和E的分量表達式，令?Ai/?x=?Ai/?y=0，並將上式代入，即可求得電磁場各分量的表達式
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上式為復數式，且沿Z軸的正方向按指數規律衰減。現將波數k分成實、虛部。為此令
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與波數表達式（7.1-16）等同起來，取平方後解得
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式中 m=為介質的電磁系數。
將（7.1-35）式代入（7.1-34）式，對Ex分量得
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其振幅和相位分別為
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上式第壹式表明，波在介質中傳播時，其振幅是隨指數規律減少的，故稱k的實部b為衰減系數。由於電場沿z方向前進1/b距離時，振幅衰減1/e倍，習慣上將δ=1/b稱為電磁波的趨膚深度。上式第二式表示了被測信號與電流源間的相關關系是隨時間變化的，故k的虛部a稱為相位系數，令在Δt時間內平面波的波陣面發生Δz的位移，則
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考慮到相位相同，故有等式
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於是，得到相速度
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在良導介質中，或波的頻率很低，以至 m?1時，可以忽略位移電流，由（7.1-17）和（7.1-36）式，有
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在無磁性介質中，μr=1，μ=μ0=4π×10-7 H／m，則
相速度為
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波長為
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趨膚深度為
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可見電磁波的趨膚深度隨電阻率的增加和頻率的降低而增大。因此深部地質調查應采用較低的工作頻率。
將（7.1-38）第二式代入（7.1-35），則波數可表示為
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考慮到（7.1-39）和（7.1-38）第四式，由上式還可得
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k 的模為
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7.1.2.4 波阻抗
為了消除（7.1-34）式中的未知系數Cx和Cy，取如下比值
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可見這個比值具有阻抗的量綱，它是平面電磁波在均勻各向同性導電介質中傳播時遇到的復波阻抗，是介質對電磁波傳播的壹種物理特性。上式表明，在均勻各向同性介質中，阻抗Zxy和Zyx的振幅相同，相位相反。
利用（7.1-38）第壹式，可將（7.1-41）第壹式寫成
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此式表明，在均勻介質中，電場在相位上落後於磁場π/4。如果介質不均勻，則電場和磁場之間的相位偏離π/4。這就是在電磁法中利用相位特性的依據。
由（7.1-42）式可寫出
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或
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上式表明，當平面波垂直入射到均勻各向同性介質時，通過測量相互正交的電場和磁場分量，可確定介質的電阻率。若介質為非均勻的，則計算的電阻率為視電阻率。
由（7.1-43）式還可以看出，如果介質電阻率為已知，則可確定介質的磁導率
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7.1.3 地中交變電磁場的分布
7.1.3.1 人工源諧變電磁場
（1）諧變場的分布特征
在頻率域電磁法中常用的波場是諧變場。其中場強、電流密度以及其他量均按余弦或正弦規律變化，即
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這裏φH和φE為初始相位。
借助於交流電的發射裝置，如振蕩器、發電機等，在地中及空氣中建立諧變場。激發方式壹般為接地式的和感應式的。第壹種方式與直流電法壹樣，利用A、B供電電極將交流電源直接接到大地，見圖7-3（a）。由於供電導線和大地不僅具有電阻，而且還具有電感，所以由A、B電極直接傳入地中的壹次電流場在相位上與電源相位發生位移。地中的分散電流及供電導線中的集中電流均在其周圍產生交變壹次磁場。後者在地中又感應產生二次電場，它是封閉的渦旋電場。嚴格地講，除這兩種場外，隨著供電電源頻率的不同，在地中還產生另壹種起因的電場：超低頻率時產生激發極化場；超高頻率時產生位移電流場。在電磁感應法中壹般不考慮這些場，即它們小到可以被忽略。如果地下介質不均勻，則在覆蓋層、圍巖及局部導體上均產生渦旋電場。其電流密度大小取決於各地質體的電阻率，即由歐姆定律決定。由此可見，歐姆定律和法拉第電磁感應定律是電磁法的物理基礎。除渦旋電場外，被電流線穿過的電阻率分界面上產生的積累電荷和具有不同磁導率的分界面上產生的感應磁荷，也是電磁法的異常源。
圖7-3 諧變場的激發方式
傳導類電場和感應類電場是疊加在壹起的。如果觀測是在 A、B 連線附近（即近區）進行，則觀測到兩種場疊加的總合場。為了削弱傳導類場可將 A、B 供電電極埋置在遠離測區的地方，這時在測區範圍內與感應場比較可忽略傳導類電場，即研究純感應場。這種方法稱之為無限長導線法。如果觀測點是在距 A、B 連線外的很遠處，則 A、B 供電電極已成為電偶極子。交變電磁場的第二種激發方式是，在地表敷設通有交變電流的不接地回線或者多匝的小型發射線圈———磁偶極子（見圖7-3（b））。在回線或線圈周圍產生交變磁場，由它激發地中的二次電場，從而又產生二次磁場。感應激發方式多半用於接地條件較差的地方。這時可徹底擺脫接地的困難。電源的壹次磁場和地中二次磁場疊加在壹起，形成總合磁場。在遠離發射源的地方（遠區），二次磁場占優勢。磁場在地表具有不均勻平面波的特點，並由地表垂直地向地下深處傳播（見圖7-4）。特別地，我們將這種具有垂直向下傳播的平面波的“遠區”又稱為“波區”。圖中的 A、B 供電電極可用發射線框代替。
圖7-4 在遠區形成不均勻平面波示意圖
（2）諧變場的結構特征
地中二次電、磁場的頻率與激發它們的壹次電、磁場的頻率相同，但二次場的相位比壹次場滯後壹個相位φ。相位滯後是由於地下介質的電阻性和電感性造成的。由於壹次場和二次場在觀測點上的空間取向不同，所以這兩種場的合成結果必然形成橢圓。總磁場（或總電場）矢量端點隨時間變化的軌跡為橢圓的場叫做橢圓極化場。設有水平方向的壹次磁場H1=H10cosωt，二次磁場有相位移φ，則H2=H20cos（ωt+φ）。總磁場的水平分量為
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式中H2x0為二次磁場振幅在水平方向的分量。總磁場的垂直分量為
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由此可見，有相位差的兩個矢量合成的總合場在直角坐標系中的各分量，不僅其振幅不同，而且相位也不同。在壹般情況下可寫成
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下面討論XOZ平面內Hx和Hz場的極化情況。由於
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故利用（7.1-45）式，將上式整理成
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兩端平方後，整理得
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此式乃為以Hx和Hz為變量的橢圓方程。當φx=φz時，即在XOZ平面內無相位差時，上式變為
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這意味著橢圓蛻化為直線，即為線性極化場，但在其他兩個平面內仍可能呈橢圓極化。如果φx-φz=π/2及Hx0=Hz0，則場在XOZ平面內呈圓極化。
設極化橢圓長軸與X軸的夾角為θ，由解析幾何的轉軸公式可導出θ與長半軸a、短半軸b的表達式
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地中電磁場的橢圓極化現象是電磁感應場的重要結構特征。它可反映地下不同導電地質體的存在，並且其變化反映了電參數的變化。壹般情況下，H2?H1，則可推導出如下近似關系式
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由此可見，橢圓極化率b/a及橢圓傾角θ分別與二次場虛分量和實分量對壹次場H1之比有關。
7.1.3.2 瞬變電磁場
在圖7-3所示的裝置中輸入階躍電流，這時在階躍變化電流源（通電或斷電）作用下，地中產生過渡過程的感應電磁場將具有瞬時變化的特點，這種電磁場就稱為瞬變電磁場。與諧變場情況壹樣，瞬變場的激發也有接地式和感應式兩種方式。
（1）瞬變場隨時間的變化規律
在過程的早期，瞬變場頻譜中高頻成分占優勢，因此渦旋電流主要分布在地表附近，且阻礙電磁場的深入傳播。在這壹時間內，電磁場主要反映淺層地質信息，且具有很強的分層能力。隨著時間的推移，介質中場的高頻部分衰減（熱損耗），而低頻部分的作用相對明顯起來，增加了穿透深度。在往下傳播過程中，若遇到良導地層時，就會產生較強的渦旋電流，且其持續時間也較長。
在過程的晚期，局部的渦流實際上衰減殆盡，而各層產生的渦流磁場之間的連續相互作用使場平均化，幾乎同步衰減，則可以將整個層狀斷面等效為具有總縱向電導S的壹個層，這時只能確定沈積蓋層的總縱向電導和總厚度，有利於確定基底起伏。
瞬變電磁場狀態的基本參數是時間。這壹時間依賴於巖石的導電性和發-收距。在近區的高阻巖石中，瞬變場的建立和消失很快（幾十到幾百毫秒）。在良導地層中，這壹過程變得緩慢。在遠區這壹過程可持續到幾秒到幾十秒，而在較厚的導電地質體中可延續到壹分鐘或更長。
由此可見，研究瞬變電磁場隨時間的變化規律，可探測具有不同導電性的地層分布（各層的縱向電導或地層總的縱向電導），也可以發現地下賦存的較大的良導礦體。
（2）瞬變場的結構特征
瞬變電磁場是通過兩種途徑傳播的。第壹種途徑是電磁波在空氣中以光速很快傳播到地表各點，根據惠更斯原理，地表每個波前點成為球面波源，將部分電磁能量傳入地下。在距發射裝置足夠遠處（即遠區），在地表上形成垂直向下傳播的不均勻平面波。第二種途徑是，由發射裝置接地處流入地下的電流或壹次磁場在導電介質中感應的電流形成磁場，直接將電磁能量傳入地中，由於大地的電抗作用，這時建立的瞬變場比第壹種途徑建立的瞬變場遲緩。因而在過程早期，上述兩種激發建立的場在時間上是分開的。隨著時間的推移，這兩種場相互疊加且以場強的極大形式顯示出來。在晚期，第壹種途徑建立的場在各處衰減殆盡，第二種途徑建立的場在地中占據主導地位。
瞬變場與諧變場比較，在結構上差別很大。諧變場的結構由固定頻率的渦旋電流磁場的相互作用來確定。瞬變場的結構則從過程的壹開始就由多種頻率的渦旋電流磁場的相互作用決定。第壹種途徑激發產生的地中電場結構與諧變場壹致，只是頻率成分不同。第二種途徑激發產生的地中電場服從熱傳導的規律，其結構特點是，隨時間的推移，場向深處傳播過程中逐漸向外擴散，故可借用“煙圈”效應來描述其渦旋電流。圖7-5形象地給出了諧變場和瞬變場的渦旋電流的結構。
圖7-5 諧變場（遠區）和瞬變場（晚期）渦旋電流的結構