數學歸納思想在各學段之特點和教學啟示
第壹章 導論
1.1 問題的提出在數學新課程標準中，數學思想方法的要求進壹步得到了明確：“課程的基本理念是要註重提高學生的數學思維能力，在數學教學過程中，不斷地引導學生經歷觀察發現、歸納類比和抽象概括等思維過程，這些過程有助於學生更為深層次地理解數學概念，是數學思維能力的重要體現①。”數學思想方法是數學的精髓，較之於數學知識處於更高的層次，是促進知識轉化為能力的橋梁，在處理各種數學問題時，具有重要的指導性作用。重視引導學生領悟數學思想方法是提高學生思維能力的重要保證，可以使學生掙脫題海，教會他們數學地思考，真正做到有意義地學習。同時，數學思想方法幾乎已滲入到了新教材的每壹個專題模塊中，這就要求教師必須努力鉆研教材，多進行壹些數學思想方法的教學探索和研究，以促進傳統教學觀向現代教學觀的轉變。本人對全國統壹編寫的中小學數學教材中涉及到的數學思想方法進行了粗略的統計，從統計的結果中大致可以看出幾個出現頻率較高的詞匯：化歸、抽象概括、歸納猜想、數形結合等。總體來說，在整個數學教學中演繹方法壹直受到了足夠的重視，而作為培養學生創新力的歸納方法卻遭到不重視的待遇，反差之大引人深思。筆者認為，這正從壹個側面上反映了當前的數學教學中存在的種種弊端，即介紹新概念時只闡述定義而忽視該概念的形成過程，講解習題時只說明解題步驟而不註重探求解題思路②。
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1.2 國內外研究概況
國外研究之現狀：20 世紀以來，由於數學公理化的形成以及開展了對數學基礎理論的深入研究，人們逐漸關註數學的各個分支之間的內在聯系，也更加註重對數學思想方法的產生以及發展規律的探究。國外眾多著名的數學家都曾對數學思想方法進行過理論研究，也取得了豐富的研究成果。經典名著如匈牙利數學家波利亞所著的《數學與猜想》，他的主要觀點是:數學中有“論證推理和合情推理”兩種推理。他揭示了它們之間的內在聯系，即它們屬於思維的兩個方面、兩種形式，在數學的發現和創造過程中起著交互作用。數學論文不但要重視論證推理的應用，也要重視合情推理的學習，這樣可以豐富我們的科學思想，提高創新能力③。而數學歸納推理即為波利亞所指的合情推理的特殊情況。另外還有米山國藏所著的《數學的精神、思想與方法》，該著作精辟地論述了整個數學的精神實質以及貫穿於其中的重要的數學思想，而且對數學思想和方法的教學也提供了些許好的參考，他認為在中小學階段就應該重視培養學生通過運用數學思想方法來解決生活實際中碰到的數學問題的能力。同時作者從數學發展的視角概括提煉了數學中較為普遍而又很有價值的數學思想④。
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第二章 相關理論研究
2.1 相關概念的界定
2.1.1 數學思想方法的內涵
在闡述數學歸納思想的定義之前，必須先明確數學思想方法的內涵。所謂數學思想，就是從具體的數學內容中高度抽象提煉出來的數學觀點，是運用數學來解決問題的指導思想，其實就是對數學的本質認識。而數學方法指的是人們分析解決數學問題的綜合性策略，即解決問題的格式和步驟，是實施數學思想的有效手段16。數學思想與數學方法是相互聯系的，但又有所區別。數學思想是數學方法的精神實質，數學方法是數學思想的外在表現形式。即數學思想具有內隱性，而數學方法具有外顯性。同時，數學思想的特點是普遍性和概括性，數學方法的特征則是具體性和可操作性。數學思想是數學方法的升華，它比數學方法更能深刻地反映出數學內容之間的內在關系。但是它們都作為思維活動的載體，在運用數學方法來解決問題的過程中，感性認識不斷地積累到壹定的程度時就會上升為數學思想，而數學思想的形成又可以對數學方法起壹定的指導作用。因此，要嚴格區分它們是不容易的。徐利治先生在《數學方法論選講》中未給出數學思想與數學方法以及數學思想方法的明確定義，使用時幾乎不加以區別。而張奠宙先生在《數學方法論稿》中雖對數學方法和數學思想作了單獨的解釋，但也贊同不必刻意區分，他壹般將它們統稱為數學思想方法17。（範文 .）
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2.2 基於研究的相關理論基礎
吸收哲學流派中各種有價值的思想可以為我們進行更有意義的數學歸納思想教學提供指導意義。2.2.1 教育心理學理論依據
1. 布魯納的認知理論:發現學習理論
20 世紀 60 年代，布魯納首次提出了教育中的遷移問題，受到了普遍關註。他提倡“發現學習”，這種學習形式能夠很好地激發學生潛能，對培養學生的發現力和創造力有促進作用。他認為學習中有壹個普遍現象是學習可以遷移，如果學生的觀念在認知結構中處於較高的抽象概括水平，則比較有利於學生學習19。美國著名心理學家賈德也進行過遷移實驗，結果表明：掌握壹般的原理有利於學習的遷移，而數學中的壹般原理即為數學思想方法。由這壹理論我們可以看出：數學歸納的過程其實就是壹個發現學習的過程，引導學生自覺運用數學歸納思想對於實現學習遷移也是非常有利的，可以快速地提高數學思維能力。同時，在教學時註重知識類比有助於提高學生的歸納能力。
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第三章 數學歸納思想教與學的現狀調查.......................14
3.1 數學歸納思想教學的現狀以及教師的困惑.............................14
3.2 學生在數學歸納思想內容學習中的掌握情況..............................16
第四章 中小學教材中的數學歸納思想的整理與分析..............................21
4.1 小學教材中的數學歸納思想的滲透點................................22
4.2 初中教材中的數學歸納思想的滲透點........................27
4.3 高中教材中的數學歸納思想的滲透點.....................31
4.4 小學初中高中數學歸納思想課程設置的比較分析...................36
第五章 新課程背景下數學歸納思想的教學探索
5.1 數學歸納思想教學的基本原則
美國著名心理學家布魯納在學科基本理論中強調：“懂得基本原理和應遵循的原則會使學科更容易理解”，“領會基本原理可以縮小‘初級’知識和‘高級’知識之間的差距。”因此，我們在數學歸納思想教學中應該遵循以下幾個基本原則。
(1) 啟發性原則
該原則旨在強調學生在學習過程中的主體性，教師的作用是啟發引導學生，調動他們的學習積極性。這就要求教師在進行數學歸納思想的教學時，必須要充分地考慮到學生已有的知識經驗，在學生的“最近發展區”內精心創設問題情境，激發學生學習的好奇心，引導學生學會質疑問題，自發地觀察、思考，數學論文範文並能自覺地抽象概括歸納出知識的本質屬性。同時，教師在教學中把握恰當的引導時機也是很關鍵的，大教育家孔子有句名言：“不憤不啟，不悱不發”。意思就是要當學生經過思考但又想不通時才去啟發他，即在啟發前壹定要給學生壹個思考的過程，先讓學生進行積極思考，然後再適時啟發。
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第六章 研究結論與建議
6.1 對課程設置的研究結論與建議
筆者通過對各年級數學教材細致地分析之後，總結起來主要有這樣的問題：即在編寫的歸納思想課程內容的教科書中，並沒有給教師壹個明確的指示，內容不夠明朗。同時，在可滲透數學歸納思維教學內容的安排上缺乏系統性，總體比較散亂。課程標準也只是宏觀地要求教師要重視培養學生的歸納思維能力，沒有壹個評價的標準。因此，針對這些問題，筆者給出如下幾點建議：
第壹，在各年級教材中都應該單獨設置壹小章節介紹歸納推理內容，將其滲透到各個章節知識點中，這樣才能細分為具體的目標來實現。筆者認為，在人教版七年級上冊教材中的《整式》後面配置了關於歸納思想的習題是比較合理的，這種做法應該效仿。因為學生剛學習了整式，數學論文格式即學會了用字母來代替壹般的數，讓學生開始從具體思維慢慢地過渡到抽象思維，這對於完成歸納過程是很關鍵的。這樣設置剛好可以為完成歸納思維的習題提供基礎，而通過做這樣的習題又可以鞏固整式的學習。
第二，為了提高學生對歸納思想重要性的認識，教材中的閱讀材料可多設置壹些有關著名猜想的故事，同時可以激發學生探索熱情。比如，五年級學習質數時，可在內容後面添加閱讀鏈接——世界三大猜想之壹哥德巴赫猜想。四色猜想也是壹個比較有趣的猜想，讓學生了解壹下對提高他們學習的興趣是有益處的。第三，因為各年級學生思維的發展具有順序性和層次性，因此，從小學到初中再到高中，歸納思想課程內容的設置應該是連貫的並且是層層遞進的，應遵循由淺入深，由低級向高級發展的原則，需註意不同層次學生的不同需求。
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參考文獻（略）