1 分離參數法
例 1：設 ，其中a是實數，n是任意給定的自然數且n≥2，若 當 時有意義, 求a的取值範圍。
該題題型新穎，許多學生對函參數的不等式如何確定參數取值範圍茫然不知所措。因為這類問題涉及到高中數學的各個分支，在代數，三角，幾何，解析幾何等的知識，而且這類問題思維要求高，解法也較靈活，故學生難以掌握。但若我們能認真觀察分析壹下這類問題的特征，其實這類題目的規律性是較強的。下面就結合例子給出解決此類問題的幾種方法：
例如上面的這道高考題，我們根據其特征可以用分離參數法來解決。所謂分離參數法也就是將參數與未知量分離於表達式的兩邊，然後根據未知量的取值範圍情況決定參數的範圍。這種方法可避免分類討論的麻煩，使問題得到簡單明快的解決。我們來分析壹下這道題的特征：
因為分母n是正數，要使得 當 有意義，分子 就必須也是正數。並容易看出，可以將a分離出來。
分析： 當 時， 有意義，故有
令 ，只要對 在 上的最大值，此不等式成立即可。故我們可以利用函數的最值分離出參數a。
解： 由 時， 有意義得：
，由指數函數單調性知上式右邊的函數 的最大值是 ＝
故 a>
壹般地，利用最值分離參數法來確定不等式 , （
為實參數）恒成立中參數取值範圍的基本步驟:
（1） 將參數與變量分離，即化為 的形式；
（2） 求 在 D時的最大（或最小）值；
（3） 解不等式 得 的取值範圍。
思想方法： 把不等式中恒成立問題轉化為求函數最值問題。
適用題型：（1） 參數與變量能分離；（2） 函數的最值易求出。
利用這種方法可以順利解決許多含參數不等式中的取值問題，還可以用來證明壹些不等式。
例 2： 已知定義在R上函數f(x)為奇函數，且在 上是增函數，對於任意 求實數m範圍，使 恒成立。
解： ∵ f(x)在R上為奇函數，且在 上是增函數，
∴ f(x)在 上為增函數
又 ∵
∴ ＞－ ＝
∴ 即
∵ 2－ ，
∴ 2
∴ m>
令2－
∴ m>4－
即4－m< 在 上恒成立
即求 在 上的最小值
∵ ≥2 等號成立條件t= ,即 成立
∴
∴ 4－m< 即m>4－
∴ m的取值範圍為（4－ ，＋∞）
例 3： 設0<a ,若滿足不等式 的 壹切實數x，亦滿足不等式
求正實數b的取值範圍。
簡析略解：此例看不出明顯的恒成立問題，我們可以設法轉化:
設集合A＝ ，
B=
由題設知A B，則：
於是得不等式組：
又 ，最小值為 ；
最小值為 ；
∴ ,
即 ：b的取值範圍是
2 主參換位法
某些含參不等式恒成立問題，在分離參數會遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數與變量，但函數的最值卻難以求出時，可考慮變換思維角度。即把變元與參數換個位置，再結合其它知識，往往會取得出奇制勝的效果。
例4：若對於任意a ，函數 的
值恒大於0，求x的取值範圍。
分析：此題若把它看成x的二次函數，由於a, x都要變，則函數的最小值
很難求出，思路受阻。若視a為主元，則給解題帶來轉機。
解： 設 ，把它看成關於a的直線，
由題意知，直線恒在橫軸下方。
所以
解得： 或 或
例 5： 對於（0，3）上的壹切實數x,不等式 恒成立，求實數m的取值範圍。
分析： 壹般的思路是求x的表達式，利用條件求m的取值範圍。但求x的表達式時，兩邊必須除以有關m的式子，涉及對m討論，顯得麻煩。
解： 若設 ，把它看成是關於x的直線，由題意知直線恒在x的軸的下方。所以
解得：
3 構建函數法
當參數難以分離而不等式是有關某個變量的壹次或二次函數時，可以通過構建函數來解決。我們知道，函數概念是高中數學的壹個很重要的概念，其思想和方法已滲透到數學的各個分支。在某些數學問題中，通過數式類比，構造適當的函數模型，然後利用函數的有關性質結論解題，往往收到意想不到的效果。這裏，我們主要介紹如何通過構造壹次函數，二次函數模型，並利用它們的性質來確定參數的取值範圍。
（1） 構造壹次函數
例6： 若對壹切 ，不等式 恒成立，求實數x的取值範圍。
解： 原不等式變形為 ，
現在考慮p的壹次函數：
∴ 在 上恒成立
解得： 或
∴ x的取值範圍為
註： 本題對於壹切 不等式恒成立，因此應視p為主元，視x為參數，把不等式左邊變成關於p的壹次函數型。
（2） 造二次函數
例7： 對於 ， 恒成立，求實數m的範圍。
解： 原不等式變形為：
即
令 ，
∴
令 ＝
∴ 題意為 >0在 上恒成立。
＝ －4×1×( )<0
>0
解得 ： 或 或
∴ ，
即 m的取值範圍為：
4 數形結合法
某些含參不等式恒成立問題，既不能分離參數求解，又不能轉化為某個變量的壹次或二次函數時，則可采用數形結合法。因為辨正唯物主義認為：萬物皆有形。所以從宏觀上講，抽象的數學問題必存在著形象的直觀模型，這是因為數學問題本身就是客觀世界事物的抽象。我們在解題時，可以有意識地去認識，挖掘和創造抽象的直觀形象，變抽象為直觀，充分運用直感，由數思形，以形輔數。數形結合往往能迅速而簡捷地找到解題途徑。對於解含參不等式恒成立問題，我們可以先把不等式（或經過變形後的不等式）兩端的式子分別看成兩個函數，且畫出兩函數的圖象，然後通過觀察兩圖象（特別是交點時）的位置關系，從而列出關於含參數的不等式。
例8、已知對於壹切x，y∈R，不等式 恒成立，求實數a的取值範圍。
解： 要使原不等式恒成立 ，又
= ，考慮到點M（x, ），
N（y,- ）則點M在曲線C1：xy=9上，點N在曲線C2：x2+y2=2(y≤0)上。顯然|MN|min= ，此時a .故滿足條件的a 的取值範圍為
評析：對壹些不等式兩邊的式子，函數模型較明顯、函數圖象較容易作出的，可以考慮作出函數圖象，用函數圖像的直觀性解決不等式或方程的恒成立的問題，也非常容易得到意想不到的效果。
例9：若不等式 在 內恒成立，求實數a的取
值範圍。
解： 由題意知 ： 在 內恒成立。
在同壹坐標系內分別作出 和 的圖象
因為 時， 的圖象位於函數 的圖象上方，
當 a> 1時，顯見不成立。
故 0<a<1 ①
由圖可知：
的圖象必須過點
或在這個點的上方，則：
∴ ②
由 ①，② 知 ：
∴ a 的取值範圍為
5. 觀察.試探.猜想.證明法
當前面的方法都難以解決問題時，我們可以考慮從特殊到壹般的思想，先考慮壹些變量的特殊值，找出相應的滿足題設的參數的取值，然後猜想出參數的取值範圍，並將問題轉化為：在已知參數取值範圍的情況下，證明所給問題恒成立。
例10： 已知對壹切實數 ，不等式 恒
成立，試求實數a的取值範圍。
分析： 取 ＝ ，
則由 解得： a>
又取 ＝0， 時均得：
由此猜想：
由於當 時，對壹切
∵ ，
∴ 恒成立
故 為所求。
數學的深奧復雜性在於數學問題的千變萬化，參數問題形式多樣，方法靈活多變，技巧性較強。這就要求我們要以變應變，在解題過程中，要根據具體的題設條件，認真觀察題目中不等式的結構特征，從不同的角度，不同的方向，加以分析探討，從而選擇適當方法快速而準確地解出。當然除了以上的方法外，還有許多其它的方法，值得壹提的是，各種方法之間並不是彼此孤立的。因此，系統地掌握參數問題的解題方法，無疑會對學生今後學習及培養學生分析問題和解決問題等方面有很大的幫助。
二、函數圖像問題
1.壹次函數(包括正比例函數) 最簡單最常見的函數，在平面直角坐標系上的圖象為直線。 定義域（下面沒有說明的話，都是在無特殊要求情況下的定義域）：R 值域：R 奇偶性：無 周期性：無 平面直角坐標系解析式(下簡稱解析式): ①ax+by+c=0[壹般式] ②y=kx+b[斜截式] （k為直線斜率，b為直線縱截距，正比例函數b=0） ③y-y1=k(x-x1)[點斜式] （k為直線斜率,(x1,y1)為該直線所過的壹個點） ④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[兩點式] （（x1,y1）與（x2,y2）為直線上的兩點） ⑤x/a-y/b=0[截距式] （a、b分別為直線在x、y軸上的截距） 解析式表達局限性： ①所需條件較多（3個）； ②、③不能表達沒有斜率的直線（平行於x軸的直線）； ④參數較多，計算過於煩瑣； ⑤不能表達平行於坐標軸的直線和過圓點的直線。 傾斜角：x軸到直線的角（直線與x軸正方向所成的角）稱為直線的傾斜 角。設壹直線的傾斜角為a，則該直線的斜率k=tg(a)。 2.二次函數題目中常見的函數，在平面直角坐標系上的圖象是壹條對稱軸與y軸平行的拋物線。 定義域：R 值域：（對應解析式，且只討論a大於0的情況，a小於0的情況請讀者自行推斷）①[(4ac-b^2)/4a，正無窮）；②[t，正無窮） 奇偶性：偶函數 周期性：無 解析式： ①y=ax^2+bx+c[壹般式] ⑴a≠0 ⑵a＞0，則拋物線開口朝上；a＜0，則拋物線開口朝下； ⑶極值點：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）； ⑷Δ=b^2-4ac, Δ＞0，圖象與x軸交於兩點： （[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）； Δ＝0，圖象與x軸交於壹點： （-b/2a，0）； Δ＜0，圖象與x軸無交點； ②y=a(x-h)^2+t[配方式] 此時，對應極值點為（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）； 3.反比例函數 在平面直角坐標系上的圖象為雙曲線。 定義域：（負無窮，0）∪（0，正無窮） 值域：（負無窮，0）∪（0，正無窮） 奇偶性：奇函數 周期性：無 解析式：y=1/x 4.冪函數 y=x^a ①y=x^3 定義域：R 值域：R 奇偶性：奇函數 周期性：無 圖象類似於將壹個過圓點的二次函數的第四區間部分關於x軸作軸對稱 後得到的圖象（類比，這個方法不能得到三次函數圖象） ②y=x^(1/2) 定義域：[0，正無窮） 值域：[0，正無窮） 奇偶性：無（即非奇非偶） 周期性：無 圖象類似於將壹個過圓點的二次函數以原點為旋轉中心，順時針旋轉 90°，再去掉y軸下方部分得到的圖象（類比，這個方法不能得到三次 函數圖象） 5.指數函數 在平面直角坐標系上的圖象（太難描述了，說壹下性質吧……） 恒過點（0，1）。聯系解析式，若a＞1則函數在定義域上單調增；若0＜a＜1 則函數在定義域上單調減。 定義域：R 值域：（0，正無窮） 奇偶性：無 周期性：無 解析式：y=a^x a＞0 性質：與對數函數y=log(a)x互為反函數。 *對數表達：log(a)x表示以a為底的x的對數。 6.對數函數 在定義域上的圖象與對應的指數函數（該對數函數的反函數）的圖象關於直線y=x軸對稱。 恒過定點（1，0）。聯系解析式，若a＞1則函數在定義域上單調增；若0＜a＜1 則函數在定義域上單調減。 定義域：（0，正無窮） 值域：R 奇偶性：無 周期性：無 解析式：y=log(a)x a＞0 性質：與對數函數y=a^x互為反函數。 7.三角函數 ⑴正弦函數：y=sinx 圖象為正弦曲線（壹種波浪線，是所有曲線的基礎） 定義域：R 值域：[-1，1] 奇偶性：奇函數 周期性：最小正周期為2π 對稱軸：直線x=kπ/2 (k∈Z） 中心對稱點：與x軸的交點：（kπ，0）(k∈Z） ⑵余弦函數：y=cosx 圖象為正弦曲線，由正弦函數的圖象向左平移π/2個單位（最小平移量）所得。 定義域：R 值域：[-1，1] 奇偶性：偶函數 周期性：最小正周期為2π 對稱軸：直線x=kπ (k∈Z） 中心對稱點：與x軸的交點：（π/2+kπ，0）(k∈Z） ⑶正切函數：y=tg x 圖象的每個周期單位很像是三次函數，很多個，均勻分布在x軸上。 定義域：{x│x≠π/2+kπ} 值域：R 奇偶性：奇函數 周期性：最小正周期為π 對稱軸：無 中心對稱點：與x軸的交點：（kπ，0）(k∈Z）。
三、數列問題
求和：
1、錯位相減：妳已知知道了，不說。
2、分組求和：壹個數列的通項公式可以分成幾個特殊數列的和。例：an=n+1/2^n
3、裂項：形如：1/1*2+1/2*3+1/3*4+1/4*5+……+1/n(n-1),主要是先裂其通項公式。此類題弄主要適用於，分母成等差數列的形式。再如：1/2*4+1/4*6+1/6*8+……+1/2n(2n-2),並且分母的前後項能連上，即為了能相約掉提供條件。
4、倒序相加：適用於可求出a1+an的問題，範圍比較窄。例：等差數列{an}***n項，前5項和為10，最後5項和為50，所有項的和為120，求n
這裏因為等差數列的性質，可知5+50＝5（a1+an）,然後利用前n項和的第壹個公式，很容易就可以求出項數。
5、此外還有通項化歸：即先將通項公式進行化簡，再進行求和。如：求數列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,……的前n項和。此時先將an求出，再利用分組等方法求和。
6、並項求和：例：1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n
此時當然可以先求出奇數項和偶數項的和，再相減。
但更好的方法是：（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]
基本現在能遇到的這些就夠了。其它雷同。
求通項：
累加、疊乘，妳只要把等差數列與等比數列的通項公式推導“過程”弄明白，自然其它形式也能想到。
累加：列出式子後相加，同樣的壹項，壹正壹負；
疊乘：列出式子後相乘，同樣的壹項，壹個是分母壹個是分子。
昨天就打完了，結果中毒，全白打了。希望對樓主有所裨益。
參考資料：
壹、常用公式法
直接利用公式求和是數列求和的最基本的方法．常用的數列求和公式有：
等差數列求和公式:
等比數列求和公式:
二、錯位相減法
可以求形如 的數列的和，其中 為等差數列， 為等比數列.
例1：求和： .
設 ，其中 為等差數列， 為等比數列，公比為 ，利用錯位相減法求和.
解： ，
兩端同乘以 ，得
，
兩式相減得
於是 .
說明：錯位相減法實際上是把壹個數列求和問題轉化為等比數列求和的問題.
三、裂項相消法
適用於 其中{ }是各項不為0的等差數列，c為常數；部分無理數列、含階乘的數列等
例2 求數列{1/( ＋ )}的前n項和
解： ∵1/( ＋ )＝ － (n＋1－n＝1)
分母有理化
∴1/( ＋ )＋1/( ＋ )＋…＋1/( － )
＝ －1＋ － ＋…＋ －
＝ －1
說明：對於分母是兩二次根式的和，且被開方數是等差數列，
利用乘法公式，使分母上的和變成了分子上的差，從
而Sn又因中間項相消而可求。
四、分組轉化法
有壹類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，能分為幾個等差、等比或常見的數列，則對拆開後的數列分別求和，再將其合並即可求出原數列的和．
例3 已知集合A＝{a|a＝2n＋9n－4，n∈N且a＜2000}，求A中元素的個數，以及這些元素的和
解： 由 210＝1024，211＝2048
知 210＋9×10－4＜2000
211＋9×10－4＞2000
∴ A中有10個元素,記這些元素的和為S10，則
(首項為9，公差為9的等差數列)
S10＝2＋22＋23＋…＋210＋9＋18＋…＋90－4×10
(首項為2，公比為2的等比數列)
＝2(210－1)＋99×5－40＝2501
說明：本題中A是壹個集合，集合中的元素是不可重復的，
也是沒有順序，所以集合與數列是不同的，但在
求和時與10個元素的順序無關，所以可借用數列
的方法求和。
五、配對求和法
對壹些特殊的數列，若將某些項合並在壹起就具有某種特殊的性質，則在數列求和時，可考慮把這些項放在壹起先配對求和，然後再求Sn．
例4, 設數列 的首項為 ，前 項和 滿足關系式：
（1）求證：數列 是等比數列。
（2）設數列 的公比為 ，作數列 使 ，求 。
（3）對（2）中的數列 求和： 。
（1997年上海高考試題）
解:
1）略；（2） ，（提示： ）
（3）
（提示：配對求和
）
六、數學歸納法
第壹數學歸納法：（1）已知命題 成立；
（2）若命題 成立；
由（1）（2）可知命題 都成立。
簡單實例：證明 ；
第二數學歸納法：（1）已知命題 成立；
（2）若 ；
由（1）（2）命題 都成立。
應用的註意點：
（1）兩步缺壹不可
（2）第二步證明是必須利用歸納假設；
例5．用數學歸納法證明：
。
證明：i) 當n=2時，左式= ，
右式= ， ∵ ， ∴ ，
即n=2時，原不等式成立。
ii)假設n=k(k≥2, k∈Z)時，不等式成立，即
,
則n=k+1時，
左邊=
右邊= ，要證左邊>右邊，
只要證 ，
只要證 ， 只要證 4k2+8k+4>4k2+8k+3
只要證4>3。
而上式顯然成立，所以原不等式成立，即n=k+1時，左式>右式。
由i), ii)可知，原不等式對n≥2，n∈N均成立。
七 .倒序相加法：
如果壹個數列｛an｝，與首末兩項等距的兩項之和等於首末兩項之和， 可采用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到壹個常數列的和，這壹求和的方法稱為倒序相加法。
例6. 求和
解析：據組合數性質 ，將 倒序寫為
以上兩式相加得：
八. 待定系數法
類似等差數列，如果 是關於 的 次式，那麽它的前 項和 是關於 的 次式，且不含常數項。因此，只要求出這個 次式的各項系數即可。
例7. 求和
解析：由於通項 是 的二次式，則 是 的三次式，且不含常數項。
設 ，令 得
解得
所以
宏誌網校 俊傑