1．（貴州省貴陽市）如圖，已知AB是⊙O的弦，半徑OA＝2cm，∠AOB＝120°． （1）求tan∠OAB的值； （2）計算S△AOB ； （3）⊙O上壹動點P從A點出發，沿逆時針方向運動，當S△POA ＝S△AOB 時，求P點所經過的弧長（不考慮點P與點B重合的情形）． 解：（1）∵OA＝OB，∠AOB＝120°，∴∠OAB＝30° ∴tan∠OAB＝ 3 3 ························································································ 4分 （2）如圖1，過O作OH⊥AB於H 則OH＝ 2 1 OA＝1，AB＝2AH＝32OH＝32 ∴S△POQ ＝ 21AB?OH＝2 1 ×32×1＝3（cm2） ····························· 8分 （3）如圖2，延長BO交⊙O於點P1，連結AP1，OP1 ∵點O是直徑BP1的中點，∴S△P1OA＝S△AOB ，∠AOP1＝60° ∴AP1︵ 的長度為3 2 π（cm） ································································ 10分 作點A關於直徑BP1的對稱點P2，連結AP2，OP2 易得S△P2OA＝S△AOB ，∠AOP2＝120° ∴AP2︵ 的長度為3 4 π（cm） ································································ 11分 過點B作BP3∥OA交⊙O於點P3，連結AP3，OP3 易得S△P3OA＝S△AOB ， ∴ABP3︵ 的長度為3 10 π（cm） ···························································· 12分 A O B P A O B P2 P3 P1 圖2 A O B P 圖1 H 2 2．（2010江蘇省南通市）如圖，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大於0的常數），BC＝8，E為線段BC上的動點（不與B、C重合）．連結DE，作EF⊥DE，EF與射線BA交於點F，設CE＝x，BF＝y． （1）求y關於x的函數關系式； （2）若m＝8，求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？ （3）若y＝m12 ，要使△DEF為等腰三角形，m的值應為多少？ ．解：（1）∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠BEF＋∠CED＝90° ∵∠BEF＋∠BFE＝90°，∴∠BFE＝∠CED 又∵∠B＝∠C＝90°，∴Rt△BFE∽Rt△CED ∴ BEBF＝CDCE，即xy?8＝m x ∴y＝－ m1x 2＋m 8 x ························································································· 4分 （2）若m＝8，則y＝－81x 2＋x＝－8 1 ( x－4)2＋2 ∴當x＝4時，y的值最大，y最大＝2 ····························································· 7分 （3）若y＝ m12，則－m1x 2＋m 8x＝m12 ∴x 2 －8x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝6 ··························································· 8分 ∵△DEF中∠FED是直角，∴要使△DEF為等腰三角形，只能DE＝EF 此時Rt△BFE≌Rt△CED ∴當EC＝2時，m＝CD＝BE＝6 ································································ 10分 當EC＝6時，m＝CD＝BE＝2 即m的值應為6或2時，△DEF是等腰三角形 ······································· 12分 3．（2010青海省西寧市）如圖，直線y＝kx－1與x軸、y軸分別交於B、C兩點，tan∠OCB ＝ 2 1 ． （1）求B點的坐標和k的值； （2）若點A（x，y）是第壹象限內的直線y＝kx－1上的壹個動點，當點A運動過程中，試寫出△AOB的面積S與x的函數關系式； （3）探索： ①當點A運動到什麽位置時，△AOB的面積是 4 1； A B C D E F A B C D E F C O B x y A（x，y） y＝kx－1 3 ②在①成立的情況下，x軸上是否存在壹點P，使△POA是等腰三角形．若存在，請寫出滿足條件的所有P點的坐標；若不存在，請說明理由．
解：
（
1
）把
x
＝
0
代入
y
＝
kx
－
1
，得
y
＝
－
1
，∴
C
（
0
－
1
）
OC
＝
1
又∵
tan
∠
OCB
＝
OC
OB
＝
2
1
，∴
OB
＝
2
1
∴
B
（
2
1
0
）
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2
分
把
B
（
2
1
0
）代入
y
＝
kx
－
1
，得
2
1
k
－
1
＝
0
∴
k
＝
2
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4
分
（
2
）如圖
1
，過
A
作
AD
⊥
x
軸，垂足為
D
由（
1
）知直線
BC
的函數關系式為
y
＝
2
x
－
1
∴
S
＝
2
1
OB
AD
＝
2
1
2
1
(
2
x
－
1
)
＝
2
1
x
－
4
1
即
S
＝
2
1
x
－
4
1
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6
分
（
3
）①由
2
1
x
－
4
1
＝
4
1
，得
x
＝
1
，∴
y
＝
2
×
1
－
1
＝
1
∴
A
（
1
1
）
故當點
A
運動到（
1
1
）時，
△
AOB
的面積是
4
1
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8
分
②存在
如圖
2
P
1
（
－
2
0
）
P
2
（
1
0
）
P
3
（
2
0
）
P
4
（
2
0
）
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1
2
分