高中必修壹數學知識點總結
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高中必修壹數學知識點總結
第壹章 集合與函數概念
壹、集合有關概念
1.集合的含義
2.集合的中元素的三個特性：
(1)元素的確定性如：世界上最高的山
(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的無序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同壹個集合
3.集合的表示：{ ? } 如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}
(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。
註意：常用數集及其記法：X Kb 1.C om
非負整數集(即自然數集) 記作：N
正整數集 ：N*或 N+
整數集： Z
有理數集： Q
實數集： R
1)列舉法：{a,b,c?}
2) 描述法：將集合中的元素的公***屬性描述出來，寫在大括號內表示集合{x?R|x-3>2} ,{x|x-3>2}
3) 語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4) Venn圖:
4、集合的分類：
(1)有限集 含有有限個元素的集合
(2)無限集 含有無限個元素的集合
(3)空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=-5｝
二、集合間的基本關系
1.?包含?關系?子集
註意： 有兩種可能(1)A是B的壹部分，;(2)A與B是同壹集合。
反之: 集合A不包含於集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A
2.?相等?關系：A=B (5?5，且5?5，則5=5)
實例：設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} ?元素相同則兩集合相等?
即：① 任何壹個集合是它本身的子集。A?A
② 真子集:如果A?B,且A? B那就說集合A是集合B的真子集，記作A B(或B A)
③ 如果 A?B, B?C ,那麽 A?C
④ 如果A?B 同時 B?A 那麽A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，記為?
規定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
4.子集個數：
有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集，含有2n-1個非空子集，含有2n-1個非空真子集
三、集合的運算
運算類型 交 集 並 集 補 集
定 義 由所有屬於A且屬於B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作A B(讀作?A交B?)，即A B={x|x A，且x B｝.
由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的並集.記作：A B(讀作?A並B?)，即A B ={x|x A，或x B}).
設S是壹個集合，A是S的壹個子集，由S中所有不屬於A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集(或余集)
記作 ，即
CSA=
A A=A
A ?=?
A B=B A
A B A
A B B
A A=A
A ?=A
A B=B A
A B A
A B B
(CuA) (CuB)
= Cu (A B)
(CuA) (CuB)
= Cu(A B)
A (CuA)=U
A (CuA)= ?.
二、函數的有關概念
1.函數的概念
設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對於集合A中的任意壹個數x，在集合B中都有唯壹確定的數f(x)和它對應，那麽就稱f：A?B為從集合A到集合B的壹個函數.記作： y=f(x)，x?A.其中，x叫做自變量，x的取值範圍A叫做函數的定義域;與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)| x?A }叫做函數的值域.
註意：
1.定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。
求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：
(1)分式的分母不等於零;
(2)偶次方根的被開方數不小於零;
(3)對數式的真數必須大於零;
(4)指數、對數式的底必須大於零且不等於1.
(5)如果函數是由壹些基本函數通過四則運算結合而成的.那麽，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.
(6)指數為零底不可以等於零，
(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.
相同函數的判斷方法：①表達式相同(與表示自變量和函數值的字母無關);
②定義域壹致 (兩點必須同時具備)
2.值域 : 先考慮其定義域
(1)觀察法 (2)配方法 (3)代換法
3. 函數圖象知識歸納
(1)定義：
在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (x?A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x ?A)的圖象.C上每壹點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每壹組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 .
(2) 畫法
1.描點法： 2.圖象變換法：常用變換方法有三種：1)平移變換2)伸縮變換3)對稱變換
4.區間的概念
(1)區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間 (2)無窮區間 (3)區間的數軸表示.
5.映射
壹般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某壹個確定的對應法則f，使對於集合A中的任意壹個元素x，在集合B中都有唯壹確定的元素y與之對應，那麽就稱對應f：A B為從集合A到集合B的壹個映射。記作?f(對應關系)：A(原象) B(象)?
對於映射f：A?B來說，則應滿足：
(1)集合A中的每壹個元素，在集合B中都有象，並且象是唯壹的;
(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同壹個;
(3)不要求集合B中的每壹個元素在集合A中都有原象。
6.分段函數
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。
(2)各部分的自變量的取值情況.
(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的並集.
補充：復合函數
如果y=f(u)(u?M),u=g(x)(x?A),則 y=f[g(x)]=F(x)(x?A) 稱為f、g的復合函數。
二.函數的性質
1.函數的單調性(局部性質)
(1)增函數
設函數y=f(x)的定義域為I，如果對於定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1
如果對於區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1f(x2)，那麽就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.
註意：函數的單調性是函數的局部性質;
(2) 圖象的特點
如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那麽說函數y=f(x)在這壹區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.
(3).函數單調區間與單調性的判定方法
(A) 定義法：
(1)任取x1，x2?D，且x1
(2)作差f(x1)-f(x2);或者做商
(3)變形(通常是因式分解和配方);
(4)定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);
(5)下結論(指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性).
(B)圖象法(從圖象上看升降)
(C)復合函數的單調性
復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：?同增異減?
註意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在壹起寫成其並集.
8.函數的奇偶性(整體性質)
(1)偶函數：壹般地，對於函數f(x)的定義域內的任意壹個x，都有f(-x)=f(x)，那麽f(x)就叫做偶函數.
(2)奇函數：壹般地，對於函數f(x)的定義域內的任意壹個x，都有f(-x)=?f(x)，那麽f(x)就叫做奇函數.
(3)具有奇偶性的函數的圖象的特征：偶函數的圖象關於y軸對稱;奇函數的圖象關於原點對稱.
9.利用定義判斷函數奇偶性的步驟：
○1首先確定函數的定義域，並判斷其是否關於原點對稱;
○2確定f(-x)與f(x)的關系;
○3作出相應結論：若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0，則f(x)是偶函數;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0，則f(x)是奇函數.
註意：函數定義域關於原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件.首先看函數的定義域是否關於原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，(1)再根據定義判定; (2)由 f(-x)?f(x)=0或f(x)/f(-x)=?1來判定; (3)利用定理，或借助函數的圖象判定 .
10、函數的解析表達式
(1)函數的解析式是函數的壹種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，壹是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.
(2)求函數的解析式的.主要方法有：1.湊配法2.待定系數法3.換元法4.消參法
11.函數最大(小)值
○1 利用二次函數的性質(配方法)求函數的最大(小)值
○2 利用圖象求函數的最大(小)值
○3 利用函數單調性的判斷函數的最大(小)值：
如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b);
如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b);
第三章 基本初等函數
壹、指數函數
(壹)指數與指數冪的運算
1.根式的概念：壹般地，如果 ，那麽 叫做 的 次方根，其中 >1，且 ? *.
負數沒有偶次方根;0的任何次方根都是0，記作 。
當 是奇數時， ，當 是偶數時，
2.分數指數冪
正數的分數指數冪的意義，規定：
，
0的正分數指數冪等於0，0的負分數指數冪沒有意義
3.實數指數冪的運算性質
(1) ? ;
(2) ;
(3) .
(二)指數函數及其性質
1、指數函數的概念：壹般地，函數 叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域為R.
註意：指數函數的底數的取值範圍，底數不能是負數、零和1.
2、指數函數的圖象和性質
a>1 0
定義域 R 定義域 R
值域y>0 值域y>0
在R上單調遞增 在R上單調遞減
非奇非偶函數 非奇非偶函數
函數圖象都過定點(0，1) 函數圖象都過定點(0，1)
註意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：
(1)在[a，b]上， 值域是 或 ;
(2)若 ，則 ; 取遍所有正數當且僅當 ;
(3)對於指數函數 ，總有 ;
二、對數函數
(壹)對數
1.對數的概念：
壹般地，如果 ，那麽數 叫做以 為底 的對數，記作： ( ? 底數， ? 真數， ? 對數式)
說明：○1 註意底數的限制 ，且 ;
○2 ;
○3 註意對數的書寫格式.
兩個重要對數：
○1 常用對數：以10為底的對數 ;
○2 自然對數：以無理數 為底的對數的對數 .
指數式與對數式的互化
冪值 真數
= N = b
底數
指數 對數
(二)對數的運算性質
如果 ，且 ， ， ，那麽：
○1 ? + ;
○2 - ;
○3 .
註意：換底公式： ( ，且 ; ，且 ; ).
利用換底公式推導下面的結論：(1) ;(2) .
(3)、重要的公式 ①、負數與零沒有對數; ②、 ， ③、對數恒等式
(二)對數函數
1、對數函數的概念：函數 ，且 叫做對數函數，其中 是自變量，函數的定義域是(0，+?).
註意：○1 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，註意辨別。如： ， 都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數.
○2 對數函數對底數的限制： ，且 .
2、對數函數的性質：
a>1 0
定義域x>0 定義域x>0
值域為R 值域為R
在R上遞增 在R上遞減
函數圖象都過定點(1，0) 函數圖象都過定點(1，0)
(三)冪函數
1、冪函數定義：壹般地，形如 的函數稱為冪函數，其中 為常數.
2、冪函數性質歸納.
(1)所有的冪函數在(0，+?)都有定義並且圖象都過點(1，1);
(2) 時，冪函數的圖象通過原點，並且在區間 上是增函數.特別地，當 時，冪函數的圖象下凸;當 時，冪函數的圖象上凸;
(3) 時，冪函數的圖象在區間 上是減函數.在第壹象限內，當 從右邊趨向原點時，圖象在 軸右方無限地逼近 軸正半軸，當 趨於 時，圖象在 軸上方無限地逼近 軸正半軸.
第四章 函數的應用
壹、方程的根與函數的零點
1、函數零點的概念：對於函數 ，把使 成立的實數 叫做函數 的零點。
2、函數零點的意義：函數 的零點就是方程 實數根，亦即函數 的圖象與 軸交點的橫坐標。
即：方程 有實數根 函數 的圖象與 軸有交點 函數 有零點.
3、函數零點的求法：
○1 (代數法)求方程 的實數根;
○2 (幾何法)對於不能用求根公式的方程，可以將它與函數 的圖象聯系起來，並利用函數的性質找出零點.
4、二次函數的零點：
二次函數 .
(1)△>0，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點.
(2)△=0，方程 有兩相等實根，二次函數的圖象與 軸有壹個交點，二次函數有壹個二重零點或二階零點.
(3)△<0，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點.
5.函數的模型
;