高中數學函數論文

壹、函數內容處理方式的分析在整個中學階段，函數的學習始於義務教育階段，而系統的學習則集中在高中的起始年級。與以往相比，課程標準關於函數內容的要求發生了比較大的變化。 1． 強調函數背景及對其本質的理解無論是引入函數概念，還是學習三類函數模型，課程標準都要求充分展現函數的背景，從具體實例進入知識的學習。以往教材中，將函數作為壹種特殊的映射，學生對於函數概念的理解建立在對映射概念理解的基礎上。學生既要面對同時出現的幾個抽象概念：對應、映射、函數，還要理清它們之間的關系。實踐表明，在高中學生的認知發展水平上，理解這些抽象概念及其相互之間的關系存在很大困難。而從函數的現實背景實例出發，加強概念的概括過程，更有利於學生建立函數概念。壹方面，豐富的實例既是概念的背景又是理解抽象概念的具體例證；另壹方面，在實例營造的問題情境下，學生能充分經歷抽象概括的過程，理解概念內涵。2．加強函數思想方法的應用函數是刻畫現實世界變化規律的重要數學模型。因此，函數在現實世界中有著廣泛的應用。加強函數的應用，既突出函數模型的思想，又提供了更多的應用載體，使抽象的函數概念有更多的具體內容支撐。比如，新增加的內容“不同函數模型的增長”和“二分法”，前者通過比較函數模型的增長差異，使學生能夠更深刻地把握不同函數模型的特點，在面對簡單實際問題時，能根據它們的特點選擇或建立恰當的函數模型反映實際問題中變量間的依賴關系；後者充分體現了函數與方程之間的聯系，它是運用函數觀點解決方程近似解問題的方法之壹，通過二分法的學習，能使學生加深對函數概念本質的理解，學會用函數的觀點看待和解決問題，逐漸形成在不同知識間建立聯系的意識。二、函數內容編寫的基本想法函數的內容包括：函數概念及其性質，基本初等函數（Ⅰ），函數與方程，函數模型及其應用。以理解函數概念本質為線索，既可以將這些內容有機地組織為壹個整體，又可以讓學生以它們為載體，逐步深入地理解函數概念1．內容組織的線索：函數概念本質的理解函數概念並非直接給出，而是從背景實例出發采用歸納式的教材組織形式引入。由於函數概念的高度抽象性，學生真正理解函數概念需要壹個漫長的過程，需要在不同層次上、從不同角度給學生提供理解和鞏固函數概念的機會。首先，在分析典型實例的***同特征的基礎上概括出函數定義後，通過討論函數的表示、基本性質初步理解函數。它們分別是從函數的表現形式和變化規律兩個方面豐富對函數概念的認識。然後，以三類基本初等函數為載體鞏固函數概念，在學習了函數定義、基本性質之後，從壹般概念的討論進入到具體函數的學習。指數函數、對數函數和冪函數的概念及其性質都是壹般函數概念及性質的具體化。以壹類具體函數為載體，在壹般函數概念的指導下對其性質進行研究，體現了“具體──抽象──具體”的過程，是函數概念理解的深化。最後，從應用的角度再壹次鞏固並提升對函數的理解。對壹個概念真正理解的壹個判斷標準就是看看是否可以運用概念解決問題。教材最後安排函數的應用，包括二分法、不同函數模型的增長差異以及建立函數模型解決實際問題，就是期望學生能在“用”的過程中提高對函數概念的理解。2．突破難點的主要方法：顯化過程，加強聯系函數概念的理解貫穿了函數內容學習的始終，同時它也是教與學的壹個難點，在教材編寫中應采用什麽方法突破這個難點，幫助學生更好地理解函數概念？對於形成函數這樣抽象的概念，應該讓學生充分經歷概括的過程。概括就是把對象或關系的某些***同屬性區分和固定下來。這就要求我們在編寫教材時充分展示概括過程，並要充分調動學生的理性思維，引導他們積極主動地觀察、分析和概括。教材選擇了三個有壹定代表性的實例，先運用集合與對應的語言詳細地分析前兩個實例中變量間的依賴關系，給學生以如何分析函數關系的示範，然後要求學生仿照著自己給出第三個實例的分析，最後通過“思考”提出問題，引導學生概括三個實例的***同屬性，建立函數的概念。在這樣壹個從具體（背景實例）到抽象（函數定義）的過程中，學生通過自己的思考從分析單個實例上升到概括壹類實例具有的***同特征，更能理解概念內涵。作為中學數學的核心概念，函數與中學數學的許多概念都有內在聯系，這種聯系性為理解函數概念提供了眾多的角度和機會，因此加強函數與其他數學知識的聯系是函數概念教學的內在要求。例如，函數有多種表示方法，加強不同表示法之間的聯系和轉換，使學生學會在面臨壹個具體問題時能根據問題的特點靈活選擇表示的方法，就是促進理解的壹個手段。教材通過例題給出高壹某班三位同學在六次測試中的成績及相應的班平均分的數據，要求分析三位同學的學習情況。解決這個問題的關鍵就是根據函數的表格表示法與圖象表示法的特點，將表格表示轉化為圖象表示。又如，函數與現實生活有著密切的聯系，所以在編寫教材時註重加強函數與現實生活的聯系，像由背景實例引入概念，在例題和習題中安排壹定量的應用問題（碳14的衰減，地震震級，溶液的酸度等）都體現了函數與實際生活的外部聯系。再如，從運用函數觀點解決方程問題的角度介紹二分法，體現出函數與方程間的聯系等等。三、函數內容編寫中的幾個關鍵問題1．實例如何選擇無論是加強概念背景，還是突出知識的聯系與應用，能達到很好效果的重要因素就是要選擇合適的實例。那麽，如何選擇實例才能有助於學生的學習呢？對於起到不同作用的背景實例和應用實例，標準並不完全相同。但總的來說，壹是實例的背景知識應該盡量簡單，這樣可以避免因背景的復雜性而影響對數學知識本身的理解；二是實例應豐富，這樣有利於全面、準確地理解知識，不會產生偏差；三是實例應貼近學生生活、具有壹定的時代性，這樣才會引起學生的***鳴，激發學習的興趣。比如，介紹函數概念時，教材選擇了用解析式表示炮彈飛行的問題、用圖象表示南極臭氧空洞的問題、用表格表示恩格爾系數的問題，第壹個問題是學生在物理中就很熟悉的，後兩個問題是日常生活中經常提及的，背景相對來說比較簡單，學生就不會因為需要了解過多的背景知識而沖淡對函數概念的學習。而且重要的是，這樣的三個問題包括了不同的函數表現形式，利用它們概括函數概念，就可以消除初中學習中可能存在的壹些認識偏差，使學生認識到無論表示形式如何，只要對於每壹個x，都有壹個y與之對應，就是函數，而這正是函數的本質特征。再如，根據汽車票價制定規則寫出票價和裏程間的解析式，並利用解析式為售票員制作出我們在汽車上經常看到的“階梯形票價表”這類問題，貼近學生生活並具有現實的應用價值，能引發學生的興趣和學習的積極性。2．概念如何展開對於突破函數概念這個難點，可以在整段函數內容的學習中采用顯化過程、加強聯系的方法。那麽具體地，在從三個方向鞏固函數概念理解時，如何展開像函數的單調性、二分法這些概念，才能讓學生掌握它們，從而達到鞏固理解函數概念的目的呢？函數的性質就是研究函數的變化規律，這種規律最直觀的獲得來自於圖象，圖象的上升、下降就是單調性。問題在於如何幫助學生從幾何直觀上升到嚴格的數學定義。同樣地，二分法也需要經歷壹個由直觀認識到數學定義的過程。為此，就需要將直觀到嚴格數學定義的過程劃分成幾個層次，為學生搭建認識的臺階，使他們逐步地獲得概念。比如，介紹函數單調性時，首先給出壹次函數和二次函數的圖象，觀察它們的圖象特征，即上升或下降；然後用問題“如何描述函數圖象的‘上升’‘下降’呢”引導學生用自然語言描述出圖象特征；最後思考“如何利用解析式f(x)=x2描述‘隨著x的增大，相應的f(x)隨著減小’……”，將自然語言的描述轉化成數學符號語言的描述，並壹般化得到單調性的數學定義。通過這樣的三步，利用數形結合的方法展開單調性的概念，既有助於學生通過自己的努力獲得概念，而且也從數和形兩個方面理解了概念。3．函數內容中使用信息技術的點及方式在數學課程中使用信息技術已經毋庸置疑，同樣地，信息技術的使用也是教材編寫中最為關註的問題之壹。那麽，在函數中有哪些適合使用信息技術的內容，如何使用，以及在教材中使用的方式是怎樣的？信息技術具有強大的圖象功能、數據處理功能和良好的交互環境，利用這些優勢，在函數這部分內容中可以使用信息技術的點主要有：求函數值、做函數圖象、研究函數性質、擬和函數等。運用常見的壹些軟件，如excel、幾何畫板等就可以輕松地作出函數圖象，這在討論不同函數模型增長差異時發揮很大作用，從幾幅圖就能直觀發現增長的差異；運用計算器可以解決二分法中計算量大的問題，從而將更多精力關註到二分法的思想上，認識到函數和方程間的聯系；而計算機的交互環境則為學生的自主探究提供了強有力的平臺，豐富了學習方式，如討論指數、對數函數性質時，可以充分演示出圖象的動態變化過程，這樣就能在變化中尋求“不變性”，發現函數具有的性質。教材編寫時壹方面在適合使用信息技術的地方給予提示，如“可以用計算機……”等；另壹方面通過拓展欄目詳細地介紹壹些信息技術應用的專題，如“用計算機繪制函數圖象”重點介紹使用常用軟件做函數圖象的方法，“借助信息技術探究指數函數的性質”給出探究的情境，要求學生親自利用信息技術發現規律，“收集數據並建立函數模型”介紹了如何用信息技術擬合函數，等等。通過這些方式，可以為教師和學生提供使用信息技術的機會和空間。