在數學分析的發展歷史上，數學家們壹直猜測：連續函數在其定義區間中，至多除去可列個點外都是可導的。也就是說，連續函數的不可導點至多是可列集。
在當時，由於函數的表示手段有限，而僅僅從初等函數或從分段初等函數表示的角度出發去考慮，這個猜想是正確的。 但是隨著級數理論的發展，函數表示的手段擴展了，數學家可以通過函數項級數來表示更廣泛的函數類。Weierstrass是壹位研究級數理論的大師，他於1872年利用函數項級數第壹個構造出了壹個處處連續而處處不可導的函數，為上述猜測做了壹個否定的終結（公式見圖）
Weierstrass的反例構造出來後，在數學界引起極大的震動，因為對於這類函數，傳統的數學方法已無能為力，這使得經典數學陷入又壹次危機。但是反過來危機的產生又促使數學家們去思索新的方法對這類函數進行研究，從而促成了壹門新的學科“分形幾何”的產生。所謂“分形”，就是指幾何上的壹種“形”，它的局部與整體按某種方式具有相似性。“形”的這種性質又稱為“自相似性”。
我們知道，經典幾何學研究的對象是規則而光滑的幾何圖形，但是自然界存在著許多不規則不光滑的幾何圖形，它們都具有上面所述的“自相似性”。如雲彩的邊界；山峰的輪廓；奇形怪狀的海岸線；蜿蜒曲折的河流；材料的無規則裂縫，等等。這些變化無窮的曲線，雖然處處連續，但可能處處不可導。因此“分形幾何”自產生起，就得到了數學家們普遍的關註，很快就發展為壹門有著廣泛應用前景的新的學科。
維爾斯特拉斯
卡爾·特奧多爾·威廉·魏爾施特拉斯（Karl Theodor Wilhelm Weierstra?，姓氏可寫作Weierstrass，1815年10月31日——1897年2月19日），德國數學家，被譽為“現代分析之父”。生於威斯特法倫(Westfalen)的奧斯滕費爾德(Ostenfelde)（今德國），逝於柏林。
卡爾·魏爾施特拉斯的父親是威廉·魏爾施特拉斯(Wilhem Weierstrass)，任政府官員；母親是特奧多拉·馮德福斯特(Theodora Vonderforst)。他在文理中學(Gymnasium)學習時對數學開始感到興趣，但他中學畢業後進入波恩大學準備在政府謀職。他要學習的是法律、經濟和金融，違背了他讀數學的心願。他解決矛盾的方法是不留心於指定課業，私下繼續自學數學，結果他沒有學位就離開了大學。他父親在明斯特壹家師訓學校為他找到壹個位子，他之後也得以註冊為該市教師。他在這段學習中上了克裏斯托夫·古德曼(Christoph Gudermann)的課，對橢圓函數萌生興趣。
1850年後魏爾施特拉斯患病了很久，但仍然發表論文，這些論文使他獲得聲譽。1857年柏林大學給予他壹個數學教席。
1854年，他發表了壹本關於發展阿貝爾（Abel）函數論成果的專論——《關於阿貝爾函數論》公諸於世之後，根據他的學術成就，哥尼斯堡大學授予他名譽博士學位。1856年由庫默爾推薦成為柏林大學（Freie Universit?t Berlin）助理教授，1865年晉升為教授。生前，他的研究結果大都是向學生講授傳播的。1886年，他出版了《函數論論文集》。雖然他的著作不多，但卻發表了最有影響的論文。
維爾斯特拉斯的主要貢獻在數學分析、解析函數論、變分法、微分幾何學和線性代數等方面。他是把嚴格的論證引進分析學的壹位大師。他的批判精神對19世紀數學產生很大影響。他在嚴格的邏輯基礎上建立了實數理論，用單調有界序列來定義無理數，給出了數集的上、下極限，極限點和連續函數等嚴格定義，還在1861年構造了壹個著名的處處不可微的連續函數，為分析學的算術化做出重要貢獻。他完成了由柯西（Cauchy）引進的用不等式描述的極限定義（所謂ε-δ定義）。在解析函數論中，維爾斯特拉斯也有重要貢獻。他建立了解析函數的冪級數展開定理和多元解析函數基本理論，得到代數函數論及阿貝爾積分中的某些結果。在變分法中，他給出了帶有參數的函數的變分結構，研究了變分問題的間斷解。在微分幾何中，他研究了測地線和最小曲面。在線性代數中，建立了初等因子理論並用來化簡矩陣。他還是壹位傑出的教育家，壹生培養了大批有成就的數學人才，其中著名的有柯瓦列夫斯卡婭、施瓦茲、米塔—列夫勒、朔特基、富克斯等。