區間套定理：設壹無窮閉區間列{[a(n)，b(n)]}適合下面兩個條件：（1）後壹區間在前壹區間之內，既對任壹正整數n，有a(n)<=a(n+1)<b(n+1)<=b(n)，（2）當n->無窮時，區間列的長度{(b(n)-a(n))}所成的數列收斂於零，則區間的端點所成的兩數列{a(n)}及{b(n)}收斂於同壹極限$，並且$是所有區間的唯壹公***點。
閉區間套定理通常是和“二分法”配合使用的，即區間[a，b]從中點壹分為二，通常得到的這兩個區間中有且僅有壹個區間具有某種性質（和我們要證明的具體問題有關），把這個符合要求的區間[a1，b1]再分為兩半，再找出我們感興趣（具有某種性質）的那個小區間[a2，b2]。
依次類推，這樣每分壹次，我們找到的區間長度就變為原來的壹半，第n次得到的區間長度就是(b-a)/2^n，這樣當n趨於∞時，區間長度趨於0，這樣我們得到了壹個閉區間套[ai，bi]，並且有lim(bn-an)=0，滿足閉區間套定理的條件。
因此存在唯壹的實數ξ=liman=limbn，這樣我們就把每次找到的小區間[ai，bi]具有的性質“傳遞”到了實數ξ上，而這壹步正是用閉區間套定理證明問題的關鍵。