黎曼幾何是非歐幾何的壹種，亦稱“橢圓幾何”。
創立
人們終於認識到存在壹種不同於歐氏幾何的新幾何，稱其為非歐幾何。不久之後，德國的黎曼采用另壹條新公理取代第五公設，創建了另壹種非歐幾何。黎曼的新公理認為，“過直線外的壹點，壹條平行線也得不出來”。
數學界很快認識到這三種幾何都是正確的，它們反映不同曲率空間的性質。人們把羅巴切夫斯基和鮑耶創建的幾何稱為羅氏幾何，把黎曼創建的幾何稱為黎氏幾何。歐氏幾何是平直空間中的幾何，黎氏幾何是正曲率空間中的幾何，羅氏幾何則是負曲率空間中的幾何。
1845年，黎曼在哥廷根大學發表了題為《論作為幾何基礎的假設》的就職演講，標誌著黎曼幾何的誕生。黎曼把這三種幾何統壹起來，統稱為黎曼幾何，並用這壹工作，在哥廷根大學的數學系作報告，謀求壹個講師的位置。
後經E．B．Christoffel，L．Bianohi及C．G．Ricci等人進壹步完善和拓廣，成為A．Einstein創立廣義相對論(1915年)的有力數學工具。此後黎曼幾何得到了蓬勃發展，特別是E．Cartan，他建立的外微分形式和活動標架法，溝通了Lie群與黎曼幾何的聯系，為黎曼幾何的深入發展開辟了廣闊的前景，影響極為深遠。
近半個世紀來，黎曼幾何的研究從局部發展到整體，產生了許多深刻的並在其他數學分支(如代數拓撲學，偏微分方程，多復交函數論等)及現代物理學中有重要作用的結果。
內容
黎曼的研究是以高斯關於曲面的內蘊微分幾何為基礎的，在黎曼幾何中，最重要的壹種對象就是所謂的常曲率空間，對於三維空間，有三種情形：曲率恒等於零；曲率為負常數；曲率為正常數．
黎曼指出：前兩種情形分別對應於歐幾裏得幾何學和羅巴切夫斯基幾何學，而第三種情形則是黎曼本人的創造，它對應於另壹種非歐幾何學。黎曼的這第三種幾何就是用命題“過直線外壹點所作任何直線都與該直線相交”代替第五公設作為前提，保留歐氏幾何學的其他公理與公設，經過嚴密邏輯推理而建立起來的幾何體系。
這種幾何否認“平行線”的存在，是另壹種全新的非歐幾何，這就是如今狹義意義下的黎曼幾何，它是曲率為正常數的幾何，也就是普通球面上的幾何，又叫球面幾何。該文於黎曼去世兩年後的1868年發表。