中隨機選取的兩個狀態那樣，這種系統被稱為敏感地依賴於初始條件。而對初始條件的敏感的依賴性也可作為壹個混沌的定義。
與我們通常研究的線性科學不同，混沌學研究的是壹種非線性科學，而非線性科學研究似乎總是把人們對“正常”事物“正常”現象的認識轉向對“反常”事物“反常”現象的探索。例如，孤波不是周期性振蕩的規則傳播；“多媒體”技術對信息貯存、壓縮、傳播、轉換和控制過程中遇到大量的“非常規”現象產生所采用的“非常規”的新方法；混沌打破了確定性方程由初始條件嚴格確定系統未來運動的“常規”，出現所謂各種“奇異吸引子”現象等。
混沌來自於非線性動力系統，而動力系統又描述的是任意隨時間發展變化的過程，並且這樣的系統產生於生活的各個方面。舉個例子，生態學家對某物種的長期性態感興趣，給定壹些觀察到的或實驗得到的變量（如捕食者個數、氣候的惡劣性、食物的可獲性等等），建立數學模型來描述群體的增減。如果用Pn表示n代後該物種極限數目的百分比，則著名的“羅傑斯蒂映射”：Pn+1=kP(1-Pn)（k是依賴於生態條件的常數）可以用於在給定Po，k條件下，預報群體數的長期性態。如果將常數k處理成可變的參數k，則當k值增大到壹定值後， “羅傑斯蒂映射”所構成的動力系統就進入混沌狀態。最常見的氣象模型是巨型動力系統的壹個例子：溫度、氣壓、風向、速度以及降雨量都是這個系統中隨時間變化的變量。洛倫茲
（E.N.Lorenz）教授於1963年《大氣科學》雜誌上發表了“決定性的非周期流”壹文，闡述了在氣候不能精確重演與長期天氣預報者無能為力之間必然存在著壹種聯系，這就是非周期性與不可預見性之間的關系。洛倫茲在計算機上用他所建立的微分方程模擬氣候變化的時候，偶然發現輸入的初始條件的極細微的差別，可以引起模擬結果的巨大變化。洛倫茲打了個比喻，即我們在文首提到的關於在南半球巴西某地壹只蝴蝶的翅膀的偶然扇動所引起的微小氣流，幾星期後可能變成席卷北半球美國得克薩斯州的壹場龍卷風，這就是天氣的“蝴蝶效應”。
動力系統涉及上述類型和其他類型的物理及化學過程。它的研究目的是預測“過程”的最終發展結果。這就是說：如果完全知道在時間序列中壹個過程的過去歷史，能否預測它未來怎樣？尤其能否預測該系統的長期或漸進的特性？這無疑是壹個意義重大的問題。然而，即使是壹個理想化的僅有壹個變量的最簡單的動力系統也會具有難以預測的基本上是隨機的特性。動力系統中的壹點或壹個數的連續叠代產生的序列稱為軌道。如果初始條件的微小改變使其相應的軌道在壹定的叠代次數之內也只有微小改變，則動力系統是穩定的，此時，任意接近於給定初值的另壹個初值的軌道可能與原軌道相差甚遠，是不可預測的。因此，弄清給定動力系統中軌道不穩定的點的集合是及其重要的。所有其軌道不穩定的點構成的集合是這個動力系統的混沌集合，並且動力系統中參數的微小改變可以引起混沌集合結構的急劇變化。這種研究是及其復雜的，但是引入了計算機就可以形象地看到這種混沌集合的結構，看清它是壹個簡單集合還是壹個復雜集合，以及隨著動力系統本身的變化它是如何變化的。這也是混沌學為何會隨著計算機技術的進步而進步的原因所在，所謂的分形也正是從此處進入混沌動力系統研究的。
我們簡要談壹下混沌與分形的關系，混沌學研究的是無序中的有序，許多現象即使遵循嚴格的確定性規則，但大體上仍是無法預測的，比如大氣中的湍流，人的心臟的跳動等等。混沌事件在不同的時間標度下表現出相似的變化模式，與分形在空間標度下表現的相似性十分相象。混沌主要討論非線性動力系統的不穩、發散的過程，但系統在相空間總是收斂於壹定的吸引子，這與分形的生成過程十分相象。混沌學與分形學在很大程度上依賴於計算機的進步，這對純數學的傳統觀念提出了挑戰，計算機技術不僅使這兩個領域中的壹些最新發現成為可能，同時因其圖形直觀的表現形式也極大地激發了科學家與公眾的興趣與認識，起到了推廣作用。分形與混沌的壹致性並非偶然，在混沌集合的計算機圖像中，常常是軌道不穩定的點集形成了分形。所以這些分形由壹個確切的規則（對應壹個動力系統）給出：它們是壹個動力系統的混沌集，是各種各樣的奇異吸引子。因此，分形藝術的美麗就是混沌集合的美麗，對分形藝術的研究就是對混沌動力學研究的壹部分。
混沌不是偶然的、個別的事件，而是普遍存在於宇宙間各種各樣的宏觀及微觀系統的，萬事萬物，莫不混沌。混沌也不是獨立存在的科學，它與其它各門科學互相促進、互相依靠，由此派生出許多交叉學科，如混沌氣象學、混沌經濟學、混沌數學等。混沌學不僅極具研究價值，而且有現實應用價值，能直接或間接創造財富。
遠古時代，人們對大自然的變幻無常有著神秘莫測的恐懼，幾千年的文明進步使人類逐漸認識到，大自然有規律可循。經典力學的追隨者認為，只要近似知道壹個系統的初始條件和理解自然定理，就可計算系統的近似行為。世間事物的行為方式具有壹種收斂性，這樣的信念使經典力學在天文學上的預言獲得了輝煌的成就，如海王星的發現。人們研究天王星時發現其軌道存在某些極小的不規則性，這使人們懷疑天王星外還有壹顆未知行星。英國亞當斯根據開普勒定理算出了這顆新星何時出現在何方位，德國科學家戈勒進行探索，在與預計位置差1°的地方發現了此星。於是海王星的發現成為經典決定論最成功的例證。經典力學的成功無疑給人們巨大的信心，以致把宇宙看成壹架龐大時鐘的機械觀占據了統治地位。偉大的法國數學家Laplace的壹段名言把這種決定論的思想發展到了頂峰，他說：“設想某位智者在每壹瞬時得知激勵大自然的所有力及組成它的所有物體的相互位置，如果這位智者博大精深能對這樣眾多的數據進行分析，把宇宙間最龐大的物體和最輕微的原子的運動凝聚在壹個公式之中，對他來說，沒有什麽事物是不確定的，將來就象過去壹樣清晰展現在眼前”。牛頓力學在天文上處理最成功的是兩體問題，如地球和太陽的問題，兩個天體在萬有引力作用下圍繞它們***同質心作嚴格的周期運動。正因如此，我們地球上的人類才有安寧舒適的家園。但太陽系不止兩個成員，第三者的存在會否動搖這樣的穩定和諧？Laplace曾用壹種所謂的“攝動法”來修正三體運動的軌道，證明三體運動的穩定性。據說拿破侖曾問他此證明中上帝起了什麽作用，他回答：“陛下，我不需要這樣的假設”。 Laplace否定了上帝，但他的結論卻是錯的。因為三體運動中存在著混沌。
什麽是混沌呢？混沌是決定性動力學系統中出現的壹種貌似隨機的運動，其本質是系統的長期行為對初始條件的敏感性。如我們常說“差之毫厘，失之千裏”。西方控制論的創造者維納對這種情形作了生動的描述：釘子缺，蹄鐵卸；蹄鐵卸，戰馬蹶；戰馬蹶，騎士絕；騎士絕，戰事折；戰事折，國家滅。
釘子缺這樣壹微不足道的小事，經逐級放大竟導致了國家的滅亡。系統對初值的敏感性又如美國氣象學家洛侖茲蝴蝶效應中所說：“壹只蝴蝶在巴西煽動翅膀，可能會在德州引起壹場龍卷風”，這就是混沌。
環顧四周，我們的生存空間充滿了混沌。混沌涉及的領域――物理、化學、生物、醫學、社會經濟，甚至觸角伸進了藝術領域。混沌學的傳道士宣稱，混沌應屬於二十世紀三大科學之壹。相對論排除了絕對時空觀的牛頓幻覺，量子論排除了可控測量過程中的牛頓迷夢，混沌則排除了拉普拉斯可預見性的狂想。混沌理論將開創科學思想上又壹次新的革命。混沌學說將用壹個不那麽可預言的宇宙來取代牛頓、愛因斯坦的有序宇宙，混沌學者認為傳統的時鐘宇宙與真實世界毫不相關。
下面讓我們來看看經典的混沌現象。
2 混沌現象
2.1 湍流(turbulent flow)
湍流是人類尋常慣見的現象。湍流現象普遍存在於行星和地球大氣、海洋與江河、火箭尾流、乃至血液流動等自然現象之中。
1883年英國著名試驗流體力學家雷諾(O.Reynolds)做了壹個實驗，演示了湍流的產生。將流體註入壹容器，在容器內另有壹盛有色液體的細管，如圖1所示，管內的有色液體可由小口A流出，大容器下端B處裝壹閥門，可用來控制水的流速。當大容器內的水流較緩時，從細管中流出的有色液體呈壹線狀，兩種流體互不混雜(圖a)，我們稱這種流動為層流。加大閥門讓水流速度增大，當流速大到壹定程度時，兩種液體開始相互混雜，液體的流動開始呈現渦漩狀結構，而且大渦漩套小渦漩，運動狀態變得極端“紊亂”(圖b)，無法對運動狀態做出任何預測，我們稱這種流動為湍流。
圖2 燃燒煙柱的湍流
圖1 湍流的產生(a) 互不混雜的層流(b) 湍流
湍流是壹種典型的混沌現象，湍流的發生機制是物理學中壹個歷史悠久的難題。我們都知道流體力學中有壹套描述流體運動的基本方程，這些方程是基於光滑和連續概念的決定性偏微分方程，它們無法描述如此復雜，沒有規則的湍流，即使撇開湍流的空間結構不談，決定性的流體力學方程怎麽能允許貌似隨機運動的紊亂的時間行為呢？
在日常生活中我們人人都可以見到湍流現象。圖2所示是壹支點燃的香煙，青煙壹縷裊裊騰空。開始煙柱是直立的，達到壹定高度時，突然變得紊亂起來。這是在熱氣流加速上升的過程中，層流變湍流的絕妙演示。
圖3 木星上的大氣湍流
壹個有關宇宙奇跡恰如其分的描述是木星上的大氣湍流。它象壹個不運動、不消退的巨形風暴，圖3所示為哈勃太空望遠鏡拍攝的木星大氣湍流，它是太陽系中壹個古老的標誌。這些圖象揭示了木星的表面是沸騰的湍流，有東西向的水平帶。
2.2 洛侖茲水輪
圖4所示為洛侖茲(E.Lorenz)發現的、精確對應於壹種力學裝置的有名的混沌系統――洛侖茲水輪，這種簡單的構造竟也能表現出令人驚訝的復雜行為。
圖4洛侖茲水輪
水輪頂端有水流恒定地沖下來，註入掛在輪邊緣的水桶中。每只桶底部均有壹小孔能恒定地漏水。如果上面的水流沖得很慢，頂部小桶不會裝滿，因而不能克服輪軸摩擦力，水輪也不會轉動。如果水流加快。頂部水桶的重量帶動了水輪，水輪可以用定速連續旋轉，如圖4(a)和圖4(b)所示。壹旦水流加快，旋轉便呈混沌態，如圖4(c)所示。傳統的物理學家對於洛侖茲水輪這樣簡單的機械，直覺的印象告訴他們，經運壹段長時間，這水輪只要水流沖速恒定，它壹定會達到壹個穩定狀態。然而事實是，水輪永遠不會停留在某壹固定的角速度，而且永運不會以任何可以預測的形式重復。因為水桶是在水流下通過的，它們充滿的程度取決於旋轉的角速度。壹旦水輪轉得太快，水桶來不及充滿或來不及漏掉足夠的水，後面的桶比前面的桶重，則轉動變慢，甚至發生逆轉。
圖5滴水龍頭的混沌現象
2.3 滴水龍頭
大多數人都知道當水龍頭開得較小時，水滴將很有規律地從水龍頭滴下。連續滴水的時間間隔可以非常壹致，不少失眠者因老想著下壹滴水什麽時候滴下而心煩意亂，不能入睡。但當水流速度稍高時，水龍頭的行為就是壹般人不大熟悉的了。經觀察發現，在某壹速度範圍內雖然水滴仍是壹滴滴地分開落下，但其滴嗒方式卻始終不重復，就象壹個有無限創造力的鼓手。這種從有規律的滴水方式向似乎是隨機的滴水方式的轉變類似於層流向湍流的轉變。如圖5所示，在水龍頭下放壹話筒，記錄水滴敲擊話筒的聲音脈沖，就很容易發現這種無規則的混沌現象。
(a) A射向B、C之間 (b) 先B後C (c) 先C後B
圖6布尼莫維奇臺球實驗
2.4 布尼莫維奇臺球實驗
如圖6(a)所示，A、B、C是光滑水平桌面上三個完全相同的臺球，B、C兩球並列在壹起，作為靜止的靶子，A球沿它們中心聯線的垂直平分線朝它們撞去。設碰撞是完全彈性的，碰撞後三球各自如何運動?若設想因A球瞄得不夠準而與B、C球的碰撞稍分先後，則我們就會得到如圖6(b,c)所示截然不同的結果。如果說A與B、C的碰撞是絕對同時發生的，後果如何？我們就會啞然不知所對。在這樣壹個簡單的二維三體問題理，完全決定性的牛頓定律竟然給不出確定的答案！
2.5 Belousov-Zhabothsky振蕩化學反應
兩種化學藥品相混合，輸入液中反應物濃度保持常量，輸出液中濃度則呈混沌性振動。
2.6 生理醫學
伯克利大學Walter教授發現健康受試者的心電圖具有混沌的圖象，而瀕臨死亡受試者的心電圖則是非常規律的振動圖象。
2.7 計算器叠代產生的混沌
壹般的計算器上都有x2鍵，取壹個介於0和1之間的數，比如0.54321，按x2鍵。再按它，反復按下去，這個過程稱為叠代，觀察結果讀數，妳很快會發現，當妳第九次按下x2鍵時，得到結果為0，此後02=0，不會有什麽其他結果出現了。
如果妳用x2-1來叠代，將很快發現，結果在0和-1之間不斷循環，因為道理很簡單：
02-1=-1,(-1)2-1=0
若以叠代次數為橫坐標，每壹次的叠代結果為縱坐標，可得如圖7所示的叠代序列圖。
圖7x2-1的叠代產生規則振蕩，豎直方向是x值，水平方向是叠代次數
最後，我們來試壹試叠代2x2-1，我們將得到壹個如圖8所示的叠代結果，這結果看上去遠沒有前面那麽簡單，事實上，他們看上去是無規的，或說混沌的。壹個簡單的，決定性的方程卻產生了完全不能預測的、混沌的結果。
圖82x2-1的叠代產生混沌
混沌是非線性動力學系統所特有的壹種運動形式，早在20世紀初的1903年，法國數學家龐加萊（J.H.Poincare）從動力系統和拓撲學的全局思想出發指出了可能存在的混沌的特性，1954年，前蘇聯概率論大使柯爾莫哥洛夫指出不僅耗散系統有混沌，保守系統也有混沌，1963年，美國氣象學家洛侖茲 (E.Lorenz) 在《大氣科學》雜誌上發表了“決定性的非周期流”壹文，指出長期天氣預報不可行的事實，他認為壹串事件可能有壹個臨界點，在這壹點上，小的變化可以放大為大的變化，這就是所謂著名的蝴蝶效應。蝴蝶在巴西煽動翅膀，可能會在德州引起壹場龍卷風。混沌學的真正發展是在本世紀70年代後，1977年第壹次國際混沌會議在意大利召開，它標誌著混沌科學的誕生。1978年美國科學家費根鮑姆在《統計物理學》雜誌上發表了關於普適性的論文。此文轟動了世界。從此以後，混沌的研究如星星之火，漸成燎原之勢。
3 混沌學的研究方法
a: 趨向吸引子的螺旋軌道；
b: 似於周期的軌道（極限環）；c: 趨向於更復雜吸引子的軌道
圖9
3.1 相空間幾何與吸引子
研究表明，絕大多數描述系統狀態的微分方程是非線性方程，當非線性作用強烈時，以往的近似方法不再適用。為此，法國數學家龐加萊提出了用相空間拓撲學求解非線性微分方程的定性理論。在不求出方程解的情況下，通過直接考查微分方程本身結構去研究其解的性質。該理論的核心是相空間的相圖。相空間由質點速度和位置坐標構成。系統的壹個狀態可由相空間的壹個點表示，稱為相點。系統相點的軌跡稱為相圖。在相空間中，壹個動力學系統最重要的特征是它的長期性態，壹般動力學系統，隨時間演變，最終將趨於壹終極形態，此稱為相空間中的吸引子。吸引子可以是穩定的平衡點(不動點) 或周期軌跡（極限環），見圖9(a,b)，也可是持續不斷變化沒有規則秩序的許多回轉曲線，這就是所謂奇怪吸引子，如圖9(c)。
例：單擺的相圖，考慮以下三種情況：(1)無阻尼小角度擺動；(2)無阻尼任意角擺動；(3)有阻尼小角度擺動；
圖10 單擺小角度運動
解：(1)如圖10所示的理想單擺，忽略壹切阻尼，由牛頓第二定律，可得其運動方程為：
(1)
其中θ為擺角，g為重力加速度，l為擺長。若令 ，則(1)式成為：
(2)
當θ角很小時，sinθ≈θ，於是(2)式可寫為：
圖11 小角單擺的相圖
(3)
對(3)式積分壹次，可得
(4)
分別以θ和 為橫坐標和縱坐標，則方程(4)的相圖為壹橢圓，c1為壹與初始條件或總能量有關的積分常數，對不同的c1，可得壹簇同心橢圓，如圖11所示。該相圖表明系統狀態變化具有周期性。此即對應極限環吸引子。
(2) 若擺線為剛性輕質桿，則單擺可處於倒立狀態，該單擺可做任意角擺動。單擺運動方程仍為(1)式，對(1)式積分壹次可得：
(5)
(6)
c2為壹與初始條件或總能量有關的積分常數，c2越大，能量越高。同時考慮小擺角和大擺角，可得如圖12所示的相空間軌跡圖。
圖12 壹般單擺運動的相圖圖13 有阻尼小角單擺相圖
由圖可見，在小角度低能情況下，相軌跡呈橢圓形。隨著能量逐漸提高，橢圓軌跡變成左右兩端呈尖角棗核狀，當振幅（擺角）±π時，軌線上出現鞍點G、G’，實際上都對應於倒立擺的狀態，是不穩定的雙曲點。當能量再高時，相軌跡不再閉合，擺將順時針或逆時針轉起來，不再往復擺動。
（3）有阻尼小角度擺動
考慮了阻尼之後，擺角很小時的單擺運動方程為：
(7)
其中β=r/2m，為無量綱阻尼系數，r為阻尼系數。由情況（1）可知，單擺能量越小，橢圓相軌跡的長短半軸也越小，c1=0時，橢圓退化為壹點，即原點，該點對應於單擺的穩定狀態，對應於不動點吸引子。
3.2 奇異吸引子與蝴蝶效應
我們每天都收聽或收看天氣預報，盡可能準確進行長期天氣預報是人類夢寐以求的願望。計算機的發明和發展，為人類預報天氣提供了有力的工具。大氣實際上是無數沖來撞去的分子組成的，它們是不連續的，但在經典力學中，通常把大氣當成連續、光滑的理想流體來代替。幾百年前，歐拉和伯努利就寫出了描述這種流體的運動方程。
圖14氣候演變曲線
為了求解運動方程，我們必須用離散的時間來叠代。所謂叠代就是用計算結果做為當前值代入方程求得方程的下壹個值。就像我們在前面計算器叠代混沌中所做的那樣，只是現在把那裏的叠代次數換成了時間而已。為天氣預報所作的叠代必須以驚人的高速進行，每秒要進行1百萬次以上的運算。我們都相信，妳的運算方程越精確，妳的預報越準確。而事實上影響大氣運動的因素太多了，不可能把所有的因素都考慮進去。因此，只能抓住主要矛盾，略去次要因素。
洛侖茲是壹個氣象學家，在孩提時代就是個氣象迷，反復記錄著他家房子外的小觀測站裏溫度計的讀數。他同時也熱愛數學，熱愛數學的純潔性。正是這兩種愛好，使他在混沌研究這個領域做出了開創性的工作。
洛侖茲那時正在用他的"皇家馬克比"計算機，對大氣系統進行模擬，以便尋找進行長期天氣預報的方法。有壹次偶然的機會，洛侖茲沒有把壹次運算從頭算起，他走了壹條捷徑，從中途去啟動，把前面打印出來的結果做為初始條件輸入。這新壹輪的計算原本應當重復前壹次的計算結果，因為程序並沒有變，然而當他看到打印結果時，卻目瞪口呆，他計算出來的氣候演變曲線與上壹輪的計算相去甚遠，根本不是壹個類型的氣候，而是完全不同的兩類氣候，如圖14所示。
檢查問題出在他輸入的數據上，計算機內存有6位數，如：0.506127，但打印時為了節省空間，只打出了三位數，即0.506。他本能地認為這千分之壹的誤差，不會對結果有什麽大的影響，這個小差別仿佛壹陣微風吹過，對大範圍的氣候不會有什麽影響。事實卻完全相反，氣候的演變對初始條件極為敏感，可謂“差之毫厘，失之千裏”，就好象巴西的壹只蝴蝶拍拍翅膀，會在德州引起壹場暴風雨壹樣，因此，洛侖茲稱它為蝴蝶效應。蝴蝶效應實際上是動力學系統行為對初值敏感依賴性的壹種通俗說法。
洛侖茲如果停留在蝴蝶效應上，說明氣候變化的不可預見性，或長期天氣預報是不可能的，那麽他帶來的不過是個壞消息，但是洛侖茲看到了幾何結構。
洛侖茲把他的方程送進皇家馬克比計算機，它的叠代次數大約每秒1次。圖15顯示了他的變量y的值的前3000次叠代結果。前1500次，y值周期性地搖擺，擺幅平穩增長。而後，它劇烈振蕩，毫無規律。洛侖茲畫出以x,y,z為坐標軸的相空間曲線如圖15所示。由圖可見，相圖是三維的，它由兩片組成，各片各自圍繞著壹個不動點。若狀態軌跡經過壹段時間之後停在壹個不動點上，那麽意味著系統進入了壹個穩定的狀態，這相軌跡將是壹個平庸吸引子。然而，事實上，相軌跡在兩片上“隨機”地跳來跳去，說明系統的狀態演變著有某種規律性，這種相圖不對應任何壹種定常狀態，因此，被稱為奇異吸引子，又稱洛侖茲吸引子。
圖15 洛侖茲奇異吸引子
奇異吸引子的奇異之處在於，相軌跡雖在兩片上跳來跳去，但決不自身相交，即不構成任何周期運動，系統的狀態變化具有隨機的不可預測性，因此奇異吸引子又稱為混沌吸引子。此外，系統狀態演變對初始條件非常敏感，相圖中兩個初始時任意靠近的點，經過足夠長的時間後，在吸引子上被宏觀地分離開來，對應完全不同的狀態。
4 混沌的數學模型
4.1 通向混沌的道路――壹維蟲口模型――邏輯斯蒂映射
馬爾薩斯(T.R.Malthas)在其《論人口原理》壹書中，在分析了19世紀美洲和歐洲的壹些地區的人口增長規律後得出結論：“在不控制的條件下，人口每25年增加壹倍，即按幾何級數增長”。不難把“馬爾薩斯人口論”寫成數學形式。為此可把25年做為壹代，把第n代的人口記為xn，馬爾薩斯的意思是：
xn+1 = 2xn (4.1)
這是簡單的正比例關系，還可以寫得更壹般些，即：
xn+1 = gxn (4.2)
其中g是比例系數。不難驗證，差分方程的解為：
xn = gnx0 (4.3)
x0 是開始計算的那壹代人口數。只要g>1，xn 很快就趨向無窮大，發生“人口爆炸”。這樣的線性模型，完全不能反應人口的變化規律，但是稍加修正，就可以稱為描述某些沒有世代交疊的昆蟲數目的蟲口方程。
這項修正就是計入限制蟲口增長的負因素。蟲口數目太多時，由於爭奪有限的食物和生存空間發生咬鬥，由於接觸傳染而導致疾病蔓延，爭鬥使蟲口數目減少的事件，這些事件的數目比例於xn2，於是方程4.2可以修正為：
xn+1 = gxn -gxn2 (4.4)
這個看起來很簡單的方程卻可以展現出豐富多彩的動力學行為。其實它並不是壹個描述蟲口變化的模型，它同時考慮了鼓勵和抑制兩種因素，反應出“過猶不及”的效應，因而具有更普遍的意義和用途。
方程(4.4)可寫成壹個抽象的、標準的蟲口方程：
xn+1 = g xn(1- xn)(4.5)
如圖16用叠代法考察解的特性，作y=f (x)及y=x的圖，給出任壹初值x0，得f (x0)，將其賦值給x1，得f (x1)…，如此循環下去。
圖16 y = f (x)的叠代曲線
當0<g<1時，從任壹初始值x0開始，代入方程(4.5)，可得x1，再把代入方程(4.5)，得x2，結果如圖17(a)所示，最終叠代結果xn(r)￥=0，其意義可以認為，由於環境惡劣，蟲口的繁殖能力有限(g太小)，使得種群最終走向滅亡。實際上，g代表了函數的非線性化的程度，g越大，gxn2越大，非線性化程度越高，拋物線的拱型越凸出，這種叠代也稱單峰叠代。
當1<g<3時，叠代結果如圖17(b)所示。比如取g =2, x0=0.9, x1=0.18,…, xn=0.5，它停在那兒不動了。即在xn=0.5處有壹個點吸引子，壹個穩定定態。若追蹤這個種群，則會發現種群數目隨著時間的演化而保持穩定的數值。
(a) 0<g<1 (b) 1<g<3(c) g =3.1 (d) g =3.58
圖17 不同g參數的蟲口叠代結果
當g =3.1時，經過壹定的步驟，叠代結果會穩定在兩個值x1n與x2n之間跳來跳去地振蕩，如圖17(c)所示。這個漂亮的振蕩稱為周期2循環，即若跟蹤種群，會發現種群數目每隔壹年，數目重復循環壹次，就象有些果樹有大年小年壹樣，x1n和x2n也是定點吸引子。
當g=3.53時，叠代結果將在4個值之間振蕩，即振蕩周期增加了壹倍，稱為周期4循環。繼續增加g值，還可得周期8循環，周期16循環等等。每壹次解的周期都增加壹倍。當g 達到某壹臨界值時，比如g =3.58附近，叠代結果再也不循環了，而是瘋狂地振蕩，永遠也不會穩定下來，我們稱為混沌態，如圖17(d)所示。
若以g 為橫坐標，叠代結果為縱坐標，可得如圖18所示的分岔圖。從臨界值g =g￥開始，邏輯斯蒂映射進入了混沌區，在這種情況下，種群的數目就完全不能預測了。這種吸
圖18 蟲口模型分岔圖 圖19 分岔圖的自相似精細結構
引子是不同於不動點和周期解的壹種奇異吸引子。若追蹤種群，妳會認為種群的數目變化完全是隨機的。然而仔細觀察圖18會發現，在復雜的混沌區，會發現壹些具有周期解的窗口，如3，6，12，…或7，14，28…，窗口內的分岔現象與整體有著相似的結構，即這種叠代分岔圖有著無窮嵌套自相似的精細結構，如圖19所示。壹系列的倍周期分岔意味著混沌狀態的到來。這是通過倍周期分岔進入混沌的典型模式。
混沌系統的重要特征是：改變某壹參量，分岔壹個接壹個。終極形態由不動點向周期2(r)周期4(r)周期8等轉化，實現壹系列周期倍化分岔，最終走向混沌。
4.2 混沌效應的幾何特性――貝諾勒拉伸折疊變換