設S是有上界集合，不妨設b是的壹個上界，取a∈S構造區間[a,b]。
定義性質P： 閉區間E，滿足存在x1∈E，x1∈S且存在x2∈E，x2不屬於S。
用二等分法構造區間套：
將[a,b]等分為兩個子區間，則至少有壹個具有性質P，不妨記該區間為[a1,b1]，則[a1,b1]含於[a,b] 。
閉區間上連續函數的三大性質：介值定理，最大值定理，壹致連續性定理，都是在他們需要出現的時候才出現，而且它們的證明都是用實數連續性定理證明的。整個體系可以用下圖表示出來。
擴展資料：
閉區間套定理由於具有較好的構造性，因此在實數相關的命題中有廣泛的應用，故閉區間套定理不僅有重要的理論價值，而且具有很好的應用價值。
例如用來證明單調有界定理，閉區間上的連續函數的性質（有界性、最值性、零點存在性、壹致連續性等），拉格朗日中值定理等微分學上常用的定理。作為介紹，在這裏給出用閉區間套定理證明單調有界定理和拉格朗日中值定理的過程。單調遞增有上界，或單調遞減有下界的數列必定收斂。
證明：以單調遞增有上界的數列為例。設數列{xn}單調遞增有上界b，如果數列從某壹項開始，所有的項都等於某個常數a，那麽a就是{xn}的極限。如果不是這樣，即{xn}嚴格單調，
百度百科-閉區間套定理