上壹節 中提到Lotka–Volterra模型：
然而，上壹節並未詳細研究這個二元系統（捕食者+獵物）動態會如何變化。很多問題仍沒有解決，諸如：
?捕食者、獵物種群動態的相位曲線如何？
?捕食者、獵物種群動態是達到穩定平衡，還是有限環，還是混沌？或者說，相位曲線會呈螺旋形，造成系統崩潰或收斂到壹個穩定點？
?受到外界擾動時，捕食者、獵物種群動態還能保持穩定嗎？
要想解決問題，首先需要建立壹套體系化的二元動力學方程研究方法。
對於兩個壹元動力學系統：
若將 看作壹個系統的兩個狀態參數，這就組成了壹個二元系統。這個二元系統被稱為這兩個壹元系統的 「直積（direct product）」 。該二元系統的解為 ，其中 分別是方程(1)、(2)的解。將兩式相除，即可得到 「分離變量的等式（equation with separable variables）」 ：
該方程的解等於二元系統的相位曲線。這樣，即使等式(1)的右側混有變量 ，等式(2)的右側混有變量 ，我們依然能將其化為等式(3)，進而求出二元系統的相位曲線。
這樣，Lotka–Volterra模型即可表示為：
求解可得 ，其中 ， 。這是壹個 封閉曲線 （圖1）。
對於Lotka–Volterra模型，從其相位曲線可以看出，系統沿著閉環運動，十分穩定。為嚴格證明這壹點，就需要變換坐標系。
如圖2所示，原先的 坐標系變換為 坐標系（或 坐標系，為表述方便，後文中 ）。則閉環擴大等價於 ，閉環縮小等價於 ，閉環不變等價於 。
有時候，我們會發現 壹直都成立。例如下面這個案例：
如果某個相點在 曲線上運動，那麽這個相點永遠都不會脫離這個有限環，因為無論時間怎麽變， 恒成立。但如果受到微小擾動，會怎麽樣呢？令
這是它在坐標系下的相位曲線。記等式右邊為函數 ，將等式右邊進行麥克勞林壹階展開（模擬擾動），得到：
求解之，得到 （ 常數）。由於 的相速矢量是周期變化的，其周期為2π，那麽
其中 即為上壹節中提到的返回函數。返回函數 。也就是說，即使出現微小擾動， 也會不斷減小，最終到0，即回到有限環。因此有限環對外界幹擾表現穩定。
從這個案例可以發現，復雜的運動方程可以用壹階方程近似的方式來模擬擾動。 「線性微分方程（linear differential equation，LDE）」 就是壹種用來描述相速矢量受擾動對系統動態影響的工具。其中， 「齊次線性微分方程（homogenous linear differential?equation）」 描述的是對起始條件的微小擾動帶來的影響，其形式如下：
其解為 ，其中 為常數。對於任意壹個周期為 的有限環運動軌跡，可以采用坐標變換的手段將相位曲線化為（圖2）：
這裏 時 ，表明該處為平衡點，這也保證了將 線性化時保證了麥克勞林展開式的第壹項 等於0， 時，可將 理解為圓周運動的半徑； 是關於 的周期函數，因而 可理解為圓周運動的角度。
將 線性化即可得到，
其中 滿足 ，求解後可知， ，進而，
或者表達為， 。 當 時，有限環上的相點受微擾時會以螺旋的方式離開有限環； 是，有限環上的相點即使受微擾，仍然會以螺旋的方式回到有限環 。 時無法得出任何結論。
有時候，系統不僅受到 起始條件的微小擾動 ，還受到 外部擾動 ，導致相速矢量場改變。 「非齊次線性微分方程（inhomogenous linear?differential?equation）」 在齊次微分方程的基礎上，又在方程右側添加了任意壹個擾動項。其壹般形式為：
其解為： 。證明過程見Box4。
對於等式右側周期為 的非齊次線性微分方程，其解滿足 。其中 與周期性齊次線性微分方程中的 相同。證明過程見Box5。
由Lamerey樓梯圖（以 為橫坐標， 為縱坐標作圖，並畫出 直線，反復叠代，詳見 上壹節 ）可知，當 時，有限環上的相點受微擾時會以螺旋的方式離開有限環，系統崩潰；當 時，系統不會崩潰，但 值最終也不會等於0，而是收斂到直線 與直線 的交點 。因而系統最終並不會回到原來的有限環，而是建立壹個新的有限環。而在建立新的有限環之前， 值會不斷周期性振蕩。這種振蕩稱為 「受迫振蕩（forced oscillation）」 。特別地，當 時，非齊次線性微分方程簡化為齊次線性微分方程的行為，即相點回到原來的有限環。
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