絕密*啟用前2012年普通高等學校招生全國統壹考試理科數學
註息事項:
1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在本試卷和答題卡相應位置上。
2.問答第Ⅰ卷時。選出每小題答案後，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號塗黑。如需改動.用橡皮擦幹凈後，再選塗其它答案標號。寫在本試卷上無效.
3.回答第Ⅱ卷時。將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效·
4.考試結束後.將本試卷和答且卡壹並交回。
第壹卷
壹． 選擇題：本大題***12小題，每小題5分，在每小題給同的四個選項中，只有壹項是符合題目要求的。
（1）已知集合 ；,則 中所含元素
的個數為（ ）
解析選
， ， ， ***10個
（2）將 名教師， 名學生分成 個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，
每個小組由 名教師和 名學生組成，不同的安排方案***有（ ）
種 種 種 種
解析選
甲地由 名教師和 名學生： 種
（3）下面是關於復數 的四個命題：其中的真命題為（ ）
的***軛復數為 的虛部為
解析選
， ， 的***軛復數為 ， 的虛部為
（4）設 是橢圓 的左、右焦點， 為直線 上壹點，
是底角為 的等腰三角形，則 的離心率為（ ）
解析選
是底角為 的等腰三角形
（5）已知 為等比數列， ， ，則 （ ）
解析選
， 或
（6）如果執行右邊的程序框圖，輸入正整數 和
實數 ，輸出 ，則（ ）
為 的和
為 的算術平均數
和 分別是 中最大的數和最小的數
和 分別是 中最小的數和最大的數
解析選
（7）如圖，網格紙上小正方形的邊長為 ，粗線畫出的
是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為（ ）
解析選
該幾何體是三棱錐，底面是俯視圖，高為
此幾何體的體積為
（8）等軸雙曲線 的中心在原點，焦點在 軸上， 與拋物線 的準線交於
兩點， ；則 的實軸長為（ ）
解析選
設 交 的準線 於
得：
（9）已知 ，函數 在 上單調遞減。則 的取值範圍是（ ）
解析選
不合題意 排除
合題意 排除
另： ，
得：
（10）已知函數 ；則 的圖像大致為（ ）
解析選
得： 或 均有 排除
（11）已知三棱錐 的所有頂點都在球 的求面上， 是邊長為 的正三角形，
為球 的直徑，且 ；則此棱錐的體積為（ ）
解析選
的外接圓的半徑 ，點 到面 的距離
為球 的直徑 點 到面 的距離為
此棱錐的體積為
另： 排除
（12）設點 在曲線 上，點 在曲線 上，則 最小值為（ ）
解析選
函數 與函數 互為反函數，圖象關於 對稱
函數 上的點 到直線 的距離為
設函數
由圖象關於 對稱得： 最小值為
第Ⅱ卷
本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題~第21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22-第24題為選考題，考生根據要求做答。
二．填空題：本大題***4小題，每小題5分。
（13）已知向量 夾角為 ，且 ；則
解析
(14) 設 滿足約束條件： ；則 的取值範圍為
解析 的取值範圍為
約束條件對應四邊形 邊際及內的區域：
則
（15）某個部件由三個元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3
正常工作，則部件正常工作，設三個電子元件的使用壽命（單位：小時）均服從
正態分布 ，且各個元件能否正常相互獨立，那麽該部件的使用壽命
超過1000小時的概率為
解析使用壽命超過1000小時的概率為
三個電子元件的使用壽命均服從正態分布
得：三個電子元件的使用壽命超過1000小時的概率為
超過1000小時時元件1或元件2正常工作的概率
那麽該部件的使用壽命超過1000小時的概率為
（16）數列 滿足 ，則 的前 項和為
解析 的前 項和為
可證明：
三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（17）（本小題滿分12分）
已知 分別為 三個內角 的對邊，
（1）求 （2）若 ， 的面積為 ；求 。
解析（1）由正弦定理得：
（2）
解得： （l fx lby）
18.（本小題滿分12分）
某花店每天以每枝 元的價格從農場購進若幹枝玫瑰花，然後以每枝 元的價格出售，
如果當天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理。
（1）若花店壹天購進 枝玫瑰花，求當天的利潤 (單位：元)關於當天需求量
（單位：枝， ）的函數解析式。
（2）花店記錄了100天玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：
以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率。
（i）若花店壹天購進 枝玫瑰花， 表示當天的利潤（單位：元），求 的分布列，
數學期望及方差；
（ii）若花店計劃壹天購進16枝或17枝玫瑰花，妳認為應購進16枝還是17枝？
請說明理由。
解析（1）當 時，
當 時，
得：
（2）（i） 可取 ， ，
的分布列為
（ii）購進17枝時，當天的利潤為
得：應購進17枝
（19）（本小題滿分12分）
如圖，直三棱柱 中， ，
是棱 的中點，
（1）證明：
（2）求二面角 的大小。
解析（1）在 中，
得：
同理：
得： 面
（2） 面
取 的中點 ，過點 作 於點 ，連接
，面 面 面
得：點 與點 重合
且 是二面角 的平面角
設 ，則 ，
既二面角 的大小為
（20）（本小題滿分12分）
設拋物線 的焦點為 ，準線為 ， ，已知以 為圓心，
為半徑的圓 交 於 兩點；
（1）若 ， 的面積為 ；求 的值及圓 的方程；
（2）若 三點在同壹直線 上，直線 與 平行，且 與 只有壹個公***點，
求坐標原點到 距離的比值。
解析（1）由對稱性知： 是等腰直角 ，斜邊
點 到準線 的距離
圓 的方程為
（2）由對稱性設 ，則
點 關於點 對稱得：
得： ，直線
切點
直線
坐標原點到 距離的比值為 。（lfx lby）
（21）（本小題滿分12分）
已知函數 滿足滿足 ；
（1）求 的解析式及單調區間；
（2）若 ，求 的最大值。
解析（1）
令 得：
得：
在 上單調遞增
得： 的解析式為
且單調遞增區間為 ，單調遞減區間為
（2） 得
①當 時， 在 上單調遞增
時， 與 矛盾
②當 時，
得：當 時，
令 ；則
當 時，
當 時， 的最大值為
請考生在第22,23,24題中任選壹題做答，如果多做，則按所做的第壹題計分，
做答時請寫清題號。
（22）（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖， 分別為 邊 的中點，直線 交
的外接圓於 兩點，若 ，證明：
（1） ；
（2）
解析（1） ，
（2）
（23）本小題滿分10分)選修4—4；坐標系與參數方程
已知曲線 的參數方程是 ，以坐標原點為極點， 軸的正半軸
為極軸建立坐標系，曲線 的坐標系方程是 ，正方形 的頂點都在 上，
且 依逆時針次序排列，點 的極坐標為
（1）求點 的直角坐標；
（2）設 為 上任意壹點，求 的取值範圍。
解析（1）點 的極坐標為
點 的直角坐標為
（2）設 ；則
（lfxlby）
（24）（本小題滿分10分）選修 ：不等式選講
已知函數
（1）當 時，求不等式 的解集；
（2）若 的解集包含 ，求 的取值範圍。
解析（1）當 時，
或 或
或
（2）原命題 在 上恒成立
在 上恒成立
在 上恒成立
2012年高考文科數學試題解析（全國課標）
壹、選擇題：本大題***12小題，每小題5分，在每小題給同的四個選項中，只有壹項是符合題目要求的。
（1）已知集合A={x|x2－x－2<0}，B={x|－1<x<1}，則
（A）AB （B）BA （C）A=B （D）A∩B=?
命題意圖本題主要考查壹元二次不等式解法與集合間關系，是簡單題.
解析A=（－1,2），故BA，故選B.
（2）復數z＝ 的***軛復數是
（A） （B） （C） （D）
命題意圖本題主要考查復數的除法運算與***軛復數的概念，是簡單題.
解析∵ = = ，∴ 的***軛復數為 ，故選D.
（3）在壹組樣本數據（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散點圖中，若所有樣本點（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直線 y=x+1上，則這組樣本數據的樣本相關系數為
（A）－1 （B）0 （C） （D）1
命題意圖本題主要考查樣本的相關系數，是簡單題.
解析有題設知，這組樣本數據完全正相關，故其相關系數為1，故選D.
（4）設 , 是橢圓 ： =1（ ＞ ＞0）的左、右焦點， 為直線 上壹點，△ 是底角為 的等腰三角形，則 的離心率為
. . . .
命題意圖本題主要考查橢圓的性質及數形結合思想，是簡單題.
解析∵△ 是底角為 的等腰三角形，
∴ ， ，∴ = ，∴ ，∴ = ，故選C.
（5）已知正三角形ABC的頂點A(1,1)，B(1,3)，頂點C在第壹象限，若點（x，y）在△ABC內部，則 的取值範圍是
（A）(1－，2) （B）(0，2)
（C）(－1，2) （D）(0，1+)
命題意圖本題主要考查簡單線性規劃解法，是簡單題.
解析有題設知C(1+ ,2)，作出直線 ： ，平移直線 ，有圖像知，直線 過B點時， =2，過C時， = ，∴ 取值範圍為(1－，2)，故選A.
（6）如果執行右邊的程序框圖，輸入正整數 ( ≥2)和實數 ， ，…， ，輸出 ， ，則
. + 為 ， ，…， 的和
. 為 ， ，…， 的算術平均數
. 和 分別為 ， ，…， 中的最大數和最小數
. 和 分別為 ， ，…， 中的最小數和最大數
命題意圖本題主要考查框圖表示算法的意義，是簡單題.
解析由框圖知其表示的算法是找N個數中的最大值和最小值， 和 分別為 ， ，…， 中的最大數和最小數，故選C.
21世紀教育網（7）如圖，網格上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則幾何體的體積為
.6 .9 .12 .18
命題意圖本題主要考查簡單幾何體的三視圖及體積計算，是簡單題.
解析由三視圖知，其對應幾何體為三棱錐，其底面為壹邊長為6，這邊上高為3，棱錐的高為3，故其體積為 =9，故選B.
(8)平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為
（A）π （B）4π （C）4π （D）6π
命題意圖
解析
（9）已知 >0， ，直線 = 和 = 是函數 圖像的兩條相鄰的對稱軸，則 =
（A） （B） （C） （D）
命題意圖本題主要考查三角函數的圖像與性質，是中檔題.
解析由題設知， = ，∴ =1，∴ = （ ），
∴ = （ ），∵ ，∴ = ，故選A.
（10）等軸雙曲線 的中心在原點，焦點在 軸上， 與拋物線 的準線交於 、 兩點， = ，則 的實軸長為
. . .4 .8
命題意圖本題主要考查拋物線的準線、直線與雙曲線的位置關系，是簡單題.
解析由題設知拋物線的準線為： ，設等軸雙曲線方程為： ，將 代入等軸雙曲線方程解得 = ，∵ = ，∴ = ，解得 =2，
∴ 的實軸長為4，故選C.
(11)當0< ≤時， ，則a的 取值範圍是
（A）(0，) （B）(，1) （C）(1，) （D）(，2)
命題意圖本題主要考查指數函數與對數函數的圖像與性質及數形結合思想，是中檔題.
解析由指數函數與對數函數的圖像知 ，解得 ，故選A.
（12）數列{ }滿足 ，則{ }的前60項和為
（A）3690 （B）3660 （C）1845 （D）1830
命題意圖本題主要考查靈活運用數列知識求數列問題能力，是難題.
解析法1有題設知
=1，① =3 ② =5 ③ =7， =9，
=11， =13， =15， =17， =19， ，
……
∴②－①得 =2，③+②得 =8，同理可得 =2， =24， =2， =40，…，
∴ ， ， ，…，是各項均為2的常數列， ， ， ，…是首項為8，公差為16的等差數列，
∴{ }的前60項和為 =1830.
法2可證明：
二．填空題：本大題***4小題，每小題5分。
(13)曲線 在點（1,1）處的切線方程為________
命題意圖本題主要考查導數的幾何意義與直線方程，是簡單題.
解析∵ ，∴切線斜率為4，則切線方程為： .
(14)等比數列{ }的前n項和為Sn，若S3+3S2=0， 則公比 =_______
命題意圖本題主要考查等比數列n項和公式，是簡單題.
解析當 =1時， = ， = ，由S3+3S2=0得 ， =0，∴ =0與{ }是等比數列矛盾，故 ≠1，由S3+3S2=0得 ， ，解得 =－2.
(15) 已知向量 ， 夾角為 ，且| |=1，| |= ，則| |= .
命題意圖.本題主要考查平面向量的數量積及其運算法則，是簡單題.
解析∵| |= ，平方得 ，即 ，解得| |= 或 （舍）
(16)設函數 =的最大值為M，最小值為m，則M+m=____
命題意圖本題主要考查利用函數奇偶性、最值及轉換與化歸思想，是難題.
解析 = ，
設 = = ，則 是奇函數，
∵ 最大值為M，最小值為 ，∴ 的最大值為M-1，最小值為 －1，
∴ ， =2.
三、解答題：解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
（17）（本小題滿分12分）已知 ， ， 分別為 三個內角 , , 的對邊， .
(Ⅰ)求 ；
(Ⅱ)若 =2， 的面積為 ，求 ， .
命題意圖本題主要考查正余弦定理應用，是簡單題.
解析(Ⅰ)由 及正弦定理得
由於 ，所以 ，
又 ，故 .
(Ⅱ) 的面積 = = ,故 =4，
而 故 =8，解得 =2.
18.（本小題滿分12分）某花店每天以每枝5元的價格從農場購進若幹枝玫瑰花，然後以每枝10元的價格出售。如果當天賣不完，剩下的玫瑰花做垃圾處理。
（Ⅰ）若花店壹天購進17枝玫瑰花，求當天的利潤y(單位：元)關於當天需求量n（單位：枝，n∈N）的函數解析式。
（Ⅱ）花店記錄了100天 玫瑰花的日需求量（單位：枝），整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
頻數
10
20
16
16
15
13
10
(i)假設花店在這100天內每天購進17枝玫瑰花，求這100天 的日利潤（單位：元）的平均數；
(ii)若花店壹天購進17枝玫瑰花，以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發生的概率，求當天的利潤不少於75元的概率.
命題意圖本題主要考查給出樣本頻數分別表求樣本的均值、將頻率做概率求互斥事件的和概率，是簡單題.
解析（Ⅰ）當日需求量 時，利潤 =85；
當日需求量 時，利潤 ，
∴ 關於 的解析式為 ；
（Ⅱ）(i)這100天中有10天的日利潤為55元，20天的日利潤為65元，16天的日利潤為75元，54天的日利潤為85元，所以這100天的平均利潤為
=76.4；
(ii)利潤不低於75元當且僅當日需求不少於16枝，故當天的利潤不少於75元的概率為
（19）（本小題滿分12分）如圖，三棱柱 中，側棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中點。
(I) 證明：平面 ⊥平面
（Ⅱ）平面 分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比.
命題意圖本題主要考查空間線線、線面、面面垂直的判定與性質及幾何體的體積計算，考查空間想象能力、邏輯推理能力，是簡單題.
解析（Ⅰ）由題設知BC⊥ ,BC⊥AC， ,∴ 面 , 又∵ 面 ，∴ ,
由題設知 ,∴ = ,即 ,
又∵ , ∴ ⊥面 , ∵ 面 ，
∴面 ⊥面 ；
（Ⅱ）設棱錐 的體積為 ， =1，由題意得， = = ，
由三棱柱 的體積 =1，
∴ =1:1， ∴平面 分此棱柱為兩部分體積之比為1:1.
（20）（本小題滿分12分）設拋物線 ： （ ＞0）的焦點為 ，準線為 ， 為 上壹點，已知以 為圓心， 為半徑的圓 交 於 , 兩點.
(Ⅰ)若 , 的面積為 ，求 的值及圓 的方程；
(Ⅱ)若 ， ， 三點在同壹條直線 上，直線 與 平行，且 與 只有壹個公***點，求坐標原點到 ， 距離的比值.
命題意圖本題主要考查圓的方程、拋物線的定義、直線與拋物線的位置關系、點到直線距離公式、線線平行等基礎知識，考查數形結合思想和運算求解能力.
解析設準線 於 軸的焦點為E，圓F的半徑為 ，
則|FE|= ， = ，E是BD的中點，
(Ⅰ) ∵ ，∴ = ，|BD|= ，
設A( ， )，根據拋物線定義得，|FA|= ，
∵ 的面積為 ，∴ = = = ，解得 =2，
∴F(0,1), FA|= ， ∴圓F的方程為： ；
(Ⅱ) 解析1∵ ， ， 三點在同壹條直線 上, ∴ 是圓 的直徑， ,
由拋物線定義知 ，∴ ，∴ 的斜率為 或－ ，
∴直線 的方程為： ，∴原點到直線 的距離 = ，
設直線 的方程為： ，代入 得， ，
∵ 與 只有壹個公***點， ∴ = ，∴ ，
∴直線 的方程為： ，∴原點到直線 的距離 = ，
∴坐標原點到 ， 距離的比值為3.
解析2由對稱性設 ，則
點 關於點 對稱得：
得： ，直線
切點
直線
坐標原點到 距離的比值為 。
（21）（本小題滿分12分）設函數f(x)= ex－ax－2
(Ⅰ)求f(x)的單調區間
(Ⅱ)若a=1，k為整數，且當x>0時，(x－k) f?(x)+x+1>0，求k的最大值
請考生在第22、23、24題中任選壹題做答，如果多做，則按所做的第壹題計分，做答時請寫清題號.
22. （本小題滿分10分）選修4－1：幾何選講
如圖，D，E分別是△ABC邊AB,AC的中點，直線DE交△ABC的外接圓與F,G兩點，若CF∥AB，證明：
(Ⅰ) CD=BC;
(Ⅱ)△BCD∽△GBD.
命題意圖本題主要考查線線平行判定、三角形相似的判定等基礎知識，是簡單題.
解析(Ⅰ) ∵D，E分別為AB,AC的中點，∴DE∥BC，
∵CF∥AB， ∴BCFD是平行四邊形，
∴CF=BD=AD， 連結AF，∴ADCF是平行四邊形，
∴CD=AF，
∵CF∥AB, ∴BC=AF, ∴CD=BC；
(Ⅱ) ∵FG∥BC，∴GB=CF，
由(Ⅰ)可知BD=CF，∴GB=BD,
∵∠DGB=∠EFC=∠DBC, ∴△BCD∽△GBD.
23. （本小題滿分10分）選修4－4：坐標系與參數方程
已知曲線 的參數方程是 （ 是參數），以坐標原點為極點， 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 :的極坐標方程是 =2，正方形ABCD的頂點都在 上，且A,B,C,D依逆時針次序排列，點A的極坐標為（2， ）.
(Ⅰ)求點A,B,C,D的直角坐標；
(Ⅱ)設P為 上任意壹點，求 的取值範圍.
命題意圖本題考查了參數方程與極坐標，是容易題型.
解析(Ⅰ)由已知可得 ， ，
， ，
即A(1， )，B（－ ，1），C（―1，― ），D（ ，－1），
(Ⅱ)設 ，令 = ，
則 = = ，
∵ ，∴ 的取值範圍是[32,52].
24.（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講
已知函數 = .
(Ⅰ)當 時，求不等式 ≥3的解集；
(Ⅱ) 若 ≤ 的解集包含 ，求 的取值範圍.
命題意圖本題主要考查含絕對值不等式的解法，是簡單題.
解析(Ⅰ)當 時， = ，
當 ≤2時，由 ≥3得 ，解得 ≤1；
當2＜ ＜3時， ≥3，無解；
當 ≥3時，由 ≥3得 ≥3，解得 ≥8，
∴ ≥3的解集為{ | ≤1或 ≥8}；
(Ⅱ) ≤ ，
當 ∈[1,2]時， = =2，
∴ ，有條件得 且 ，即 ，
故滿足條件的 的取值範圍為[－3,0].