做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.
從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a + b，所以面積相等. 即
， 整理得 .
證法2（鄒元治證明）
以a、b 為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於 . 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在壹條直線上，B、F、C三點在壹條直線上，C、G、D三點在壹條直線上.
∵ RtΔHAE ≌ RtΔEBF,
∴ ∠AHE = ∠BEF.
∵ ∠AEH + ∠AHE = 90?,
∴ ∠AEH + ∠BEF = 90?.
∴ ∠HEF = 180?―90?= 90?.
∴ 四邊形EFGH是壹個邊長為c的
正方形. 它的面積等於c2.
∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,
∴ ∠HGD = ∠EHA.
∵ ∠HGD + ∠GHD = 90?,
∴ ∠EHA + ∠GHD = 90?.
又∵ ∠GHE = 90?,
∴ ∠DHA = 90?+ 90?= 180?.
∴ ABCD是壹個邊長為a + b的正方形，它的面積等於 .
∴ . ∴ .
證法3（趙爽證明）
以a、b 為直角邊（b>a）， 以c為斜
邊作四個全等的直角三角形，則每個直角
三角形的面積等於 . 把這四個直角三
角形拼成如圖所示形狀.
∵ RtΔDAH ≌ RtΔABE,
∴ ∠HDA = ∠EAB.
∵ ∠HAD + ∠HAD = 90?，
∴ ∠EAB + ∠HAD = 90?，
∴ ABCD是壹個邊長為c的正方形，它的面積等於c2.
∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,
∠HEF = 90?.
∴ EFGH是壹個邊長為b―a的正方形，它的面積等於 .
∴ .
∴ .
證法4（1876年美國總統Garfield證明）
以a、b 為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角形的面積等於 . 把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在壹條直線上.
∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,
∴ ∠ADE = ∠BEC.
∵ ∠AED + ∠ADE = 90?,
∴ ∠AED + ∠BEC = 90?.
∴ ∠DEC = 180?―90?= 90?.
∴ ΔDEC是壹個等腰直角三角形，
它的面積等於 .
又∵ ∠DAE = 90?, ∠EBC = 90?,
∴ AD‖BC.
∴ ABCD是壹個直角梯形，它的面積等於 .
∴ .
∴ .
證法5（梅文鼎證明）
做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b ，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的壹個多邊形，使D、E、F在壹條直線上. 過C作AC的延長線交DF於點P.
∵ D、E、F在壹條直線上, 且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,
∴ ∠EGF = ∠BED，
∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，
∴ ∠BEG =180?―90?= 90?.
又∵ AB = BE = EG = GA = c，
∴ ABEG是壹個邊長為c的正方形.
∴ ∠ABC + ∠CBE = 90?.
∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,
∴ ∠ABC = ∠EBD.
∴ ∠EBD + ∠CBE = 90?.
即 ∠CBD= 90?.
又∵ ∠BDE = 90?，∠BCP = 90?，
BC = BD = a.
∴ BDPC是壹個邊長為a的正方形.
同理，HPFG是壹個邊長為b的正方形.
設多邊形GHCBE的面積為S，則
,
∴ .
證法6（項明達證明）
做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a） ，斜邊長為c. 再做壹個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在壹條直線上.
過點Q作QP‖BC，交AC於點P.
過點B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點
F作FN⊥PQ，垂足為N.
∵ ∠BCA = 90?，QP‖BC，
∴ ∠MPC = 90?，
∵ BM⊥PQ，
∴ ∠BMP = 90?，
∴ BCPM是壹個矩形，即∠MBC = 90?.
∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90?，
∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90?，
∴ ∠QBM = ∠ABC，
又∵ ∠BMP = 90?，∠BCA = 90?，BQ = BA = c，
∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.
同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF.
從而將問題轉化為證法4（梅文鼎證明）.
證法7（歐幾裏得證明）
做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在壹條直線上，連結
BF、CD. 過C作CL⊥DE，
交AB於點M，交DE於點
L.
∵ AF = AC，AB = AD，
∠FAB = ∠GAD，
∴ ΔFAB ≌ ΔGAD，
∵ ΔFAB的面積等於 ，
ΔGAD的面積等於矩形ADLM
的面積的壹半，
∴ 矩形ADLM的面積 = .
同理可證，矩形MLEB的面積 = .
∵ 正方形ADEB的面積
= 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積
∴ ，即 .
證法8（利用相似三角形性質證明）
如圖，在RtΔABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D.
在ΔADC和ΔACB中，
∵ ∠ADC = ∠ACB = 90?，
∠CAD = ∠BAC，
∴ ΔADC ∽ ΔACB.
AD∶AC = AC ∶AB，
即 .
同理可證，ΔCDB ∽ ΔACB，從而有 .
∴ ，即 .
證法9（楊作玫證明）
做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c. 再做壹個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形. 過A作AF⊥AC，AF交GT於F，AF交DT於R. 過B作BP⊥AF，垂足為P. 過D作DE與CB的延長線垂直，垂足為E，DE交AF於H.
∵ ∠BAD = 90?，∠PAC = 90?，
∴ ∠DAH = ∠BAC.
又∵ ∠DHA = 90?，∠BCA = 90?，
AD = AB = c，
∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.
∴ DH = BC = a，AH = AC = b.
由作法可知， PBCA 是壹個矩形，
所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =
CA = b，AP= a，從而PH = b―a.
∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,
RtΔDHA ≌ RtΔBCA.
∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .
∴ DH = DG = a，∠GDT = ∠HDA .
又∵ ∠DGT = 90?，∠DHF = 90?，
∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH = 90?，
∴ DGFH是壹個邊長為a的正方形.
∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .
∴ TFPB是壹個直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.
用數字表示面積的編號（如圖），則以c為邊長的正方形的面積為
①
∵ = ，
∴ = . ②
把②代入①，得
= = .
∴ .
證法10（李銳證明）
設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c. 做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點在壹條直線上. 用數字表示面積的編號（如圖）.
∵ ∠ TBE = ∠ABH = 90?，
∴ ∠TBH = ∠ABE.
又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90?，
BT = BE = b，
∴ RtΔHBT ≌ RtΔABE.
∴ HT = AE = a.
∴ GH = GT―HT = b―a.
又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90?，
∠DBC + ∠BHT = ∠TBH + ∠BHT = 90?，
∴ ∠GHF = ∠DBC.
∵ DB = EB―ED = b―a，
∠HGF = ∠BDC = 90?，
∴ RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 .
過Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90?，可知 ∠ABE
= ∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌
RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌ RtΔQAM . 即 .
由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.
∵ ∠AQM + ∠FQM = 90?，∠BAE + ∠CAR = 90?，∠AQM = ∠BAE，
∴ ∠FQM = ∠CAR.
又∵ ∠QMF = ∠ARC = 90?，QM = AR = a，
∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即 .
∵ ， ， ，
又∵ ， ， ，
∴
=
= ，
即 .
證法11（利用切割線定理證明）
在RtΔABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別於D、E，則BD = BE = BC = a. 因為∠BCA = 90?，點C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切線. 由切割線定理，得
=
=
= ，
即 ，
∴ .
證法12（利用多列米定理證明）
在RtΔABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c（如圖）. 過點A作AD‖CB，過點B作BD‖CA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內接於壹個圓. 根據多列米定理，圓內接四邊形對角線的乘積等於兩對邊乘積之和，有
∵ AB = DC = c，AD = BC = a，
AC = BD = b，
∴ ，即 ，
∴ .
證法13（作直角三角形的內切圓證明）
在RtΔABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 作RtΔABC的內切圓⊙O，切點分別為D、E、F（如圖），設⊙O的半徑為r.
∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，
∴
= = r + r = 2r,
即 ，
∴ .
∴ ，
即 ，
∵ ，
∴ ，
又∵ = =
= = ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ∴ .
證法14（利用反證法證明）
如圖，在RtΔABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D.
假設 ，即假設 ，則由
= =
可知 ，或者 . 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.
在ΔADC和ΔACB中，
∵ ∠A = ∠A，
∴ 若 AD：AC≠AC：AB，則
∠ADC≠∠ACB.
在ΔCDB和ΔACB中，
∵ ∠B = ∠B，
∴ 若BD：BC≠BC：AB，則
∠CDB≠∠ACB.
又∵ ∠ACB = 90?，
∴ ∠ADC≠90?，∠CDB≠90?.
這與作法CD⊥AB矛盾. 所以， 的假設不能成立.
∴ .
證法15（辛蔔松證明）
設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c. 作邊長是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個部分，則正方形ABCD的面積為 ；把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個部分，則正方形ABCD的面積為 = .
∴ ,
∴ .
證法16（陳傑證明）
設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c. 做兩個邊長分別為a、b的正方形（b>a），把它們拼成如圖所示形狀，使E、H、M三點在壹條直線上. 用數字表示面積的編號（如圖）.
在EH = b上截取ED = a，連結DA、DC，
則 AD = c.
∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a，
∴ DM = EM―ED = ―a = b.
又∵ ∠CMD = 90?，CM = a，
∠AED = 90?， AE = b，
∴ RtΔAED ≌ RtΔDMC.
∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.
∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180?，
∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90?，
∴ ∠ADC = 90?.
∴ 作AB‖DC，CB‖DA，則ABCD是壹個邊長為c的正方形.
∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90?，
∴ ∠BAF=∠DAE.
連結FB，在ΔABF和ΔADE中，
∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，
∴ ΔABF ≌ ΔADE.
∴ ∠AFB = ∠AED = 90?，BF = DE = a.
∴ 點B、F、G、H在壹條直線上.
在RtΔABF和RtΔBCG中，
∵ AB = BC = c，BF = CG = a，
∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG.
∵ ， ， ，
，
∴
=
=
=
∴ .