為什麽說經過19世紀的發展,代數學迎來了新生如下：
內容上，日益抽象化，公理化和系統化，群論的出現，是個轉折點。
方法上，代數學與分析學、幾何學，都出現了許多糅合和交錯，可以參看下圖的代數學中的二級學科，很多方向都得到快速的建立和發展：
代數學的意義：
初等代數學向兩個方向進壹步發展：未知數更多的壹次方程組；未知數次數更高的高次方程。在這兩個方向上的發展，使得代數學發展到高等代數的階段。高等代數作為代數學發展到高級階段的總稱，包括許多分支。現在大學裏開設的高等代數，壹般包括兩部分：線性代數和多項式代數。
泛函分析是研究拓撲線性空間到拓撲線性空間之間滿足各種拓撲和代數條件的映射的分支學科，是從變分問題，積分方程和理論物理的研究中發展起來的。它綜合運用函數論，幾何學，現代數學的觀點來研究無限維向量空間上的函數，算子和極限理論。它可以看作無限維向量空間的解析幾何及數學分析。
高等代數的研究對象，在初等代數的基礎上進壹步擴充，引入了包括集合、向量、向量空間、矩陣、行列式等在內的新概念。
這些新概念具有和數相類似的運算特點，但其研究的方法和運算的方法更加抽象和復雜，新對象的運算，並不總是符號數的基本運算定律。於是代數學納入了包括群論、環論、域論在內的代數系統，其中群論是研究數學和物理現象的對稱性規律的有力工具，也成為現代數學中最具概括性的重要的數學概念，廣泛應用於其它學科。