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古詩詞大全網 - 成語故事 - 菱形ABCD的內切圓O與各邊分別切於E、F、G、H，在EF與GH上分別作⊙O的切線交AB於M，交BC於N，交CD於P，交D

菱形ABCD的內切圓O與各邊分別切於E、F、G、H，在EF與GH上分別作⊙O的切線交AB於M，交BC於N，交CD於P，交D

證明：連接MO，NO，BD，AC，

設∠ABC=2α，∠BNM=2β，∠BMN=2γ．則

由ON平分∠ONM，得∠ONC=∠ONM=

1

2

（180°-2β）=90°-β；

同理，∠OMN=∠OMA=90°-γ．

而∠CON=180°-∠OCN-∠ONC=β+α=90°-γ，

∵∠BAD=∠BCD，

∴∠OCN=∠MAO

∴△CON∽△AMO，

∴AM：AO=CO：CN，即AM?CN=AO2．

同理，AQ?CP=AO2，

∴AM?CN=AQ?CP，

∴

AM

CP

=

AQ

CN

，

∵∠BAD=∠BCD，

∴△AMQ∽△CPN，

∴∠AMQ=∠CPN，

又∵∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠ACD，

∴∠ASM=∠NTM，

∴∠ASM=∠ATN，

∴MQ∥NP．