解答：a=0 b=-4
a=-4 b=0
y1=x?+ax+b及y2=x?+bx+a (a≠b)
y1=x?+ax+b與x軸的交點 0=x?+ax+b
x=-a+(a?-4b)^(1/2) (1)
x=-a-(a?-4b)^(1/2) (2)
y2=x?+bx+a與x軸的交點 0=x?+bx+a
x=-b+(b?-4a)^(1/2) (3)
x=-b-(b?-4a)^(1/2) (4)
與x軸的四個交點中相鄰兩點的距離相等
(1)=((3)+(4))/2=-b -a+(a?-4b)^(1/2)=-b b=2a-4 (5)
(4)=((1)+(2))/2=-a -b-(b?-4a)^(1/2)=-a a=2b-4 (6)
(1)-(2)=(3)-(4) 2(a?-4b)^(1/2)=2(b?-4a)^(1/2)
解得 a-b=0 (不合題意，舍去) a+b=-4 (7)
(5),(7)聯立求解 a=0 b=-4
(6),(7)聯立求解 a=-4 b=0
當a=0 b=-4 或者a=-4 b=0時，函數y1=x?+ax+b及y2=x?+bx+a與x軸的四個交點中相鄰兩點的距離相等。
2.已知y=x?-│x┃-12的圖象與x軸交於相異兩點A，B另壹拋物線y=ax?+bx+c過A,B，頂點為P，且△APB是等腰直角三角形，求a，b，c
解答：顯然A,B坐標為(-4,0),(4,0).
y=ax?+bx+c過A,B,所以b=0,c/a=-16,P點坐標為:(0,-16a)
由於APB是等腰直角三角形，所以AB^2=AP^2+BP^2,
求出a=±1/4.
所以a=1/4,b=0,c=-4或者a=-1/4,b=0,c=4.
3.設P是實數，二次函數y=x^2-2Px-P的圖像與x軸有兩個不同的交點A(x1,0),
B(x2,0)
(1)求證：2Px1+x2^2+3P＞0
(2)若A,B兩點間的距離不超過/2p+3/,求P的最大值
解答：判別式=4p^2+4p>0
2px1=(x1)^2-p
2px1+(x2)^2+3p=(x1)^2+(x2)^2+2p=(x1+x2)^2-2x1x2+2p=4p^2+2p+2p=4p^2+4p>0
若A，B兩點之間的距離不超過丨2p-3丨
|x1-x2|<=|2p-3|
(x1-x2)^2<=(2p-3)^2
(x1+x2)^2-4x1x2-(2p-3)^2<=0
4p^2+4p-4p^2+12p-9<=0
16p<=9
p<=9/16
p的最大值9/16
4.已知二次函數y=x^2+(k+2)x+k+5與x軸的兩個不同交點的橫坐標都是正的，那麽，k的值應為（ )
A.k＞4或k＜-5
B.-5＜k＜-4
C.k≥-4或k≤-5
D.-5≤k≤-4
因為與X軸有2個交點
所以b^2-4ac=(k+2)^2-4(k+5)>0 —— (1)
設與x軸交點分別為x1，x2
則x1+x2=-（k+2）>0 —— （2）
x1*x2=k+5>0 —— （3）
解得-5<k<-4
選B
5.二次函數y=ax^2+bx+c，當x取整數時，y值也是整數，這樣的二次函數叫作整點二次函數，請問是否存在a的絕對值小於0.5的整點二次函數，
若存在請寫出壹個，若不存在請說明理由。
解答：（方法1）（反證法）假設存在二次項系數a的絕對值小於0.5的整點二次函數，（a≠ 0)
則當x=0時，y=c，即c為整數，
同理，當x=1時，y=a+b+c=m，x=-1時，y=a-b+c=n，其中m、n都應為整數，
兩式相加，2a+2c=m+n，推知2a也應為整數，而|a|<0.5，即|2a|<1，矛盾。
所以不存在a的絕對值小於0.5的整點二次函數。
（方法2）x＝0時，y＝c是整數
x＝1時，y＝a＋b＋c是整數
x＝－1時，y＝a－b＋c是整數
∴(a＋b＋c)＋(a－b＋c)＝2a＋2c是整數
而2c是整數
故2a是整數
∵a≠0
∴|2a|≥1
即|a|≥0.5