數學問題

希爾伯特23個問題及解決情況 1900年希爾伯特應邀參加巴黎國際數學家大會並在會上作了題為《數學問題》重要演講。 在這具有歷史意義的演講中，首先他提出許多重要的思想： 正如人類的每壹項事業都追求著確定的目標壹樣，數學研究也需要自己的問題。 正是通過這些問題的解決，研究者鍛煉其鋼鐵意誌，發現新觀點，達到更為廣闊的自由的境界。 希爾伯特特別強調重大問題在數學發展中的作用，他指出：“如果我們想對最近的將來數學知識可能的發展有壹個概念，那就必須回顧壹下當今科學提出的，希望在將來能夠解決的問題。 ” 同時又指出：“某類問題對於壹般數學進程的深遠意義以及它們在研究者個人的工作中所起的重要作用是不可否認的。 只要壹門科學分支能提出大量的問題，它就充滿生命力，而問題缺乏則預示著獨立發展的衰亡或中止。” 他闡述了重大問題所具有的特點，好的問題應具有以下三個特征： 清晰性和易懂性； 雖困難但又給人以希望； 意義深遠。 同時他分析了研究數學問題時常會遇到的困難及克服困難的壹些方法。 就是在這次會議上他提出了在新世紀裏數學家應努力去解決的23個問題，即著名的“希爾伯特23個問題”。 編號 問題 推動發展的領域 解決的情況 1 連續統假設 公理化 *** 論 1963年，Paul J.Cohen 在下述意義下證明了第壹個問題是不可解的。 即連續統假設的真偽不可能在Zermelo_Fraenkel公理系統內判定。 2 算術公理的相容性 數學基礎 希爾伯特證明算術公理的相容性的設想，後來發展為系統的Hilbert計劃（“元數學”或“證明論”）但1931年歌德爾的“不完備定理”指出了用“元數學”證明算術公理的相容性之不可能。 數學的相容性問題至今未解決。 3 兩等高等底的四面體體積之相等 幾何基礎 這問題很快（1900）即由希爾伯特的學生M.Dehn給出了肯定的解答。 4 直線作為兩點間最短距離問題 幾何基礎 這壹問題提得過於壹般。 希爾伯特之後，許多數學家致力於構造和探索各種特殊的度量幾何，在研究第四問題上取得很大進展，但問題並未完全解決。 5 不要定義群的函數的可微性假設的李群概念 拓撲群論 經過漫長的努力，這個問題於1952年由Gleason, Montqomery , Zipping等人最後解決，答案是肯定的。 6 物理公理的數學處理 數學物理 在量子力學、熱力學等領域，公理化方法已獲得很大成功，但壹般地說，公理化的物理意味著什麽，仍是需要探討的問題。 概率論的公理化已由A.H.Konmoropob等人建立。 7 某些數的無理性與超越性 超越數論 1934年A.O.temohm 和Schneieder各自獨立地解決了這問題的後半部分。 8 素數問題 數論 壹般情況下的Riemann猜想至今仍是猜想。 包括在第八問題中的Goldbach問題至今也未解決。 中國數學家在這方面做了壹系列出色的工作。 9 任意數域中最壹般的互反律之證明 類域論 已由高木貞治(1921)和E.Artin(1927)解決. 10 Diophantius方程可解性的判別 不定分析 1970年由蘇、美數學家證明Hilbert所期望的壹般算法是不存在的。 11 系數為任意代數數的二次型 二次型理論 H.Hasse(1929)和C. L.Siegel(1936,1951)在這問題上獲得了重要的結果。 12 Abel域上 kroneker定理推廣到任意代數有理域。 復乘法理論 尚未解決。 13 不可能用只有兩個變數的函數解壹般的七次方程。 方程論與實函數論 連續函數情形於1957年由蘇數學家否定解決，如要求是解析函數，則問題仍未解決。 14 證明某類完全函數系的有限性 代數不變式理論 1958年永田雅宜給出了否定解決。 15 Schubert記數演算的嚴格基礎 代數幾何學 由於許多數學家的努力，Schubert演算的基礎的純代數處理已有可能，但Schubert演算的合理性仍待解決。 至於代數幾何的基礎，已由B.L.Vander Waerden(1938-40)與 A.Weil(1950)建立。 16 代數曲線與曲面的拓撲 曲線與曲面的拓撲學、常微分方程的定性理論 問題的前半部分，近年來不斷有重要結果。 17 正定形式的平方表示式 域（實域）論 已由Artin 於1926年解決。 18 由全等多面體構造空間 結晶體群理論 部分解決。 19 正則變分問題的解是否壹定解析 橢圓型偏微分方程理論 這個問題在某種意義上已獲解決。 20 壹般邊值問題 橢圓型偏微分方程理論 偏微分方程邊值問題的研究正在蓬勃發展。 21 具有給定單值群的線性偏微分方程的存在性 線性常微分方程大範圍理論 已由Hilbert本人（1905）年和 H.Rohrl(德，1957)解決。 22 解析關系的單值化 Riemann 曲面體 壹個變數的情形已由 P.Koebe (德，1907)解決。 23 變分法的進壹步發展 變分法 Hilbert本人和許多數學家對變分法的發展作出了重要的貢獻。 百年前的數學家大會與希爾伯特的問題 熊衛民 21世紀第壹次國際數學家大會馬上就要在北京召開了，它將給本世紀的數學發展帶來些什麽？能像20世紀的第壹次國際數學家大會那樣左右數學發展的方向嗎？ 壹個世紀前的那次數學家大會之所以永載史冊，完全是因為壹個人，因為他的壹個報告——希爾伯特（David Hilbert）和他的《數學問題》。 1900年，希爾伯特在巴黎召開的第二屆國際數學家大會上提出了他著名的23個數學問題。 在隨後的半個世紀中，許多世界壹流的數學頭腦都圍著它們轉。 其情形正如另壹位非常著名的數學家外爾（H. Weyl）所說：“希爾伯特吹響了他的魔笛，成群的老鼠紛紛跟著他躍進了那條河。 ”這也難怪，他所提出的問題都那麽清晰、那麽易懂，其中壹些有趣得令許多外行都躍躍欲試，而且解決其中任意壹個，或者在任意壹個問題上有重大突破，立即就能名滿天下——我國的陳景潤就因為在解決希爾伯特第8個問題（即素數問題，包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想等）上有重大貢獻而為世人所側目。 人們在總結二十世紀數學的發展，尤其是二十世紀上半葉數學的發展時，通常都以希爾伯特所提的問題為航標。 其實這些問題絕大部分業已存在，並不是希爾伯特首先提出來的。 但他站在更高的層面，用更尖銳、更簡單的方式重新提出了這些問題，並指出了其中許多問題的解決方向。 數學領域中的問題是極多的，究竟哪些更重要、更基本？做出這樣的選擇需要敏銳的洞察力。 為什麽希爾伯特能如此目光如炬？數學史家、中國科學院數學與系統科學研究院研究員、《希爾伯特——數學王國中的亞歷山大》壹書的譯者袁向東先生（和李文林先生合譯）認為，這是因為希爾伯特是數學王國中的亞歷山大！數學家可分為兩類，壹類擅長解決數學中的難題，另壹類擅長對現有狀況做出理論總結，兩大類中又均可細分為壹流、二流、三流。 希爾伯特兩者兼長，幾乎走遍了現代數學所有前沿陣地，在多個差異很大的數學分支中都留下了他那顯赫的名字，對數學發展的大背景了如指掌，對所提及的許多問題都有深入的研究，是數學領域中的“王”。 為什麽希爾伯特要在大會上總結數學的基本問題，而不像常人壹樣宣講自己的某項成果？袁向東告訴記者，這和另壹位數學巨匠龐加萊(Henri Poincaré)有關，龐加萊在1897年舉行的第壹屆國際數學家大會上做的是應用數學方面的報告。 他們兩人是當時國際數學界中的雙子星座，均為領袖級人物，當然也存在壹定的競爭心理——既然龐加萊講述的是自己對物理、數學關系的壹般看法，那麽希爾伯特就為純粹數學做壹些辯護。 龐加萊是法國人，希爾伯特是德國人，法、德兩國有世仇，所以他們之間的競爭還帶上了壹種國與國競爭的味道。 雖然他們兩人非常尊重對方，這壹點在他們身上體現得不明顯，但他們的學生和老師常常這樣看。 希爾伯特的老師克萊茵（Felix Klein）就是壹個民族感非常強的人，他非常強調德意誌數學的發展，想讓國際數學界變成橢圓——以前是圓形，圓心為巴黎；現在他想讓自己所在的哥廷根市也成為世界數學的中心，使數學世界變成有兩個圓心的橢圓。 在希爾伯特及其親密朋友閔可夫斯基(Hermann Minkowski)的幫助下，克萊茵實現了自己的目標——1900年時，希爾伯特就已經和法國最偉大的數學家龐加萊齊名，而克萊茵本人和馬上就要來到哥廷根的閔可夫斯基也是極有影響的數學家。 事實上，他們在德國號稱“無敵三教授”。 從壹個例子可以想見他們的魅力。 某天，在談及拓撲學著名定理——四色定理時，閔可夫斯基突然靈機壹動，於是對滿堂的學生說：“這條定理還沒有得到證明，因為到目前為止還只有壹些三流數學家對它進行過研究。 現在由我來證明它。 ”然後他拿起粉筆當場證明這條定理。 這堂課結束後，他還沒有證完。 下堂課他繼續證，這樣壹直持續了幾周。 最後，在壹個陰雨的早晨，他壹走上講臺天空就出現了壹道霹靂。 “老天也被我的傲慢激怒了，”他說，“我的證明也是不完全的。 ”（該定理直到1994年才用計算機證明出來。 ） 1912年，龐加萊逝世。 世界數學的中心進壹步向哥廷根偏移，數學界似乎又變成了壹個圓——不過圓心換成了哥廷根。 此時，哥廷根學派的名聲如日中天，在數學青年中流行的口號是“打起妳的鋪蓋，到哥廷根去！” 壹個世紀過去了，希爾伯特所列的那23個問題約有壹半問題已經解決，其余壹半的大多數也都有重大進展。 但希爾伯特本人沒有解決其中的任意壹個。 有人問他，為什麽他不去解決自己所提的問題，譬如說費馬大定理？ 費馬是在壹頁書的空白處寫下該定理的，他同時宣稱自己已經想出了壹個美妙的證法，但可惜的是空白區不夠大，寫不下了。 希爾伯特的回答同樣幽默：“我不想殺掉這只會下金蛋的母雞”——德國壹企業家建了壹個基金會獎勵第壹個解決費馬大定律者，希爾伯特時任該基金會的主席，每年利用該項基金的利息請優秀學者去哥廷根講學，所以對他而言，費馬大定律者是只會下金蛋的母雞。 （費馬大定律直到1997年才被解決。 ） 在列出23個問題之前，希爾伯特已經是國際數學界公認的領軍人物，已經在數學的諸多領域取得多項重要成果。 他的其它貢獻，譬如他的公理化主張、 *** 構想、《幾何基礎》壹書等等，都對20世紀數學的發展有著深遠的影響。 1 21世紀七大數學難題 21世紀七大數學難題 最近美國麻州的克雷（Clay）數學研究所於2000年5月24日在巴黎法蘭西學院宣布了壹件被媒體炒得火熱的大事：對七個“千僖年數學難題”的每壹個懸賞壹百萬美元。 以下是這七個難題的簡單介紹。 “千僖難題”之壹：P（多項式算法）問題對NP（非多項式算法）問題 在壹個周六的晚上，妳參加了壹個盛大的晚會。 由於感到局促不安，妳想知道這壹大廳中是否有妳已經認識的人。 妳的主人向妳提議說，妳壹定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。 不費壹秒鐘，妳就能向那裏掃視，並且發現妳的主人是正確的。 然而，如果沒有這樣的暗示，妳就必須環顧整個大廳，壹個個地審視每壹個人，看是否有妳認識的人。 生成問題的壹個解通常比驗證壹個給定的解時間花費要多得多。 這是這種壹般現象的壹個例子。 與此類似的是，如果某人告訴妳，數13，717，421可以寫成兩個較小的數的乘積，妳可能不知道是否應該相信他，但是如果他告訴妳它可以因子分解為3607乘上3803，那麽妳就可以用壹個袖珍計算器容易驗證這是對的。 不管我們編寫程序是否靈巧，判定壹個答案是可以很快利用內部知識來驗證，還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解，被看作邏輯和計算機科學中最突出的問題之壹。 它是斯蒂文·考克（StephenCook）於1971年陳述的。 “千僖難題”之二： 霍奇(Hodge)猜想 二十世紀的數學家們發現了研究復雜對象的形狀的強有力的辦法。 基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在壹起來形成。 這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導至壹些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形 *** 的對象進行分類時取得巨大的進展。 不幸的是，在這壹推廣中，程序的幾何出發點變得模糊起來。 在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。 霍奇猜想斷言，對於所謂射影代數簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。 “千僖難題”之三： 龐加萊(Poincare)猜想 如果我們伸縮圍繞壹個蘋果表面的橡皮帶，那麽我們可以既不扯斷它，也不讓它離開表面，使它慢慢移動收縮為壹個點。 另壹方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在壹個輪胎面上，那麽不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒有辦法把它收縮到壹點的。 我們說，蘋果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。 大約在壹百年以前，龐加萊已經知道，二維球面本質上可由單連通性來刻畫，他提出三維球面(四維空間中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。 這個問題立即變得無比困難，從那時起，數學家們就在為此奮鬥。 “千僖難題”之四： 黎曼(Riemann)假設 有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質，例如，2,3,5,7,等等。 這樣的數稱為素數；它們在純數學及其應用中都起著重要作用。 在所有自然數中，這種素數的分布並不遵循任何有規則的模式；然而，德國數學家黎曼(1826~1866)觀察到，素數的頻率緊密相關於壹個精心構造的所謂黎曼蔡塔函數z(s$的性態。 著名的黎曼假設斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在壹條直線上。 這點已經對於開始的1,500,000,000個解驗證過。 證明它對於每壹個有意義的解都成立將為圍繞素數分布的許多奧秘帶來光明。 “千僖難題”之五： 楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質量缺口 量子物理的定律是以經典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。 大約半個世紀以前，楊振寧和米爾斯發現，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人註目的關系。 基於楊－米爾斯方程的預言已經在如下的全世界範圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和築波。 盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數學上嚴格的方程沒有已知的解。 特別是，被大多數物理學家所確認、並且在他們的對於“誇克”的不可見性的解釋中應用的“質量缺口”假設，從來沒有得到壹個數學上令人滿意的證實。 在這壹問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。 “千僖難題”之六： 納維葉－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性 起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現代噴氣式飛機的飛行。 數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解納維葉－斯托克斯方程的解，來對它們進行解釋和預言。 雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。 挑戰在於對數學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。 “千僖難題”之七： 貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想 數學家總是被諸如x^2+y^2=z^2那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題著迷。 歐幾裏德曾經對這壹方程給出完全的解答，但是對於更為復雜的方程，這就變得極為困難。 事實上，正如馬蒂雅謝維奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希爾伯特第十問題是不可解的，即，不存在壹般的方法來確定這樣的方法是否有壹個整數解。 當解是壹個阿貝爾簇的點時，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認為，有理點的群的大小與壹個有關的蔡塔函數z(s)在點s=1附近的性態。 特別是，這個有趣的猜想認為，如果z(1)等於0,那麽存在無限多個有理點(解)，相反，如果z(1)不等於0,那麽只存在有限多個這樣的點。