黎曼幾何是非歐幾何的壹種，亦稱“橢圓幾何”。
黎曼幾何是非歐幾何的壹種，亦稱“橢圓幾何”。它是由德國數學家伯納德·黎曼在19世紀末提出的。與歐幾裏得幾何相比，黎曼幾何具有更為復雜的性質和更多的對稱性。
歐幾裏得幾何是壹種基於平行公設和距離定義的幾何體系。在歐幾裏得幾何中，直線是無限延伸的，且兩點之間最短的距離是壹條直線段。然而，黎曼幾何中的直線是彎曲的，而且沒有固定長度的概念。
黎曼幾何的壹個重要特點是其曲率概念。曲率是壹個衡量曲線彎曲程度的指標，通常用希臘字母κ表示。黎曼幾何中的曲率不僅與曲線本身有關，還與坐標系的選擇有關。換句話說，不同的坐標系可能會導致相同的曲率值。這種現象被稱為“測地線理論”。
黎曼幾何的應用體現在廣義相對論、黑洞研究、量子物理、弦理論
1、廣義相對論：黎曼幾何是廣義相對論的基礎，它描述了物體在重力場中的行為。在廣義相對論中，空間和時間不再是絕對的，而是與物體的運動狀態有關。例如，光速在任何地方都是恒定的，這就是黎曼幾何的壹個重要預言。
2、黑洞研究：黎曼幾何為理解黑洞提供了新的工具。在黎曼幾何中，黑洞不再是壹個完全“空”的區域，而是壹個有事件視界的區域。事件視界是黑洞周圍的壹個區域，任何物體壹旦進入這個區域就無法逃脫黑洞的引力。
3、量子物理：黎曼幾何也在量子物理中有應用。例如，量子糾纏是壹種特殊的物理現象，它違反了局域性原理（即物理定律在局部區域內應該是成立的）。黎曼幾何提供了壹種解釋這種現象的方式，即通過引入時空的彎曲來考慮量子效應。
4、弦理論：弦理論是壹種試圖統壹所有基本粒子和力的物理學理論。在這個理論中，空間和時間被視為弦的振動模式。黎曼幾何為弦理論提供了壹個合適的數學框架。