證法1（課本的證明）做8個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c，再做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們像上圖那樣拼成兩個正方形.?從圖上可以看到，這兩個正方形的邊長都是a
+ b，所以面積相等. 即a?+b?+4x1/2ab=c?+4x1/2ab， 整理得a?+b?=c?。
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2
證法2（鄒元治證明）以a、b
為直角邊，以c為斜邊做四個全等的直角三角形，則每個直角三角1ab2形的面積等於.
把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在壹條直線上，B、F、C三點在壹條直線上，C、G、D三點在壹條直線上. ∵ RtΔHAE ≌
RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF =
180o―90o= 90o.∴ 四邊形EFGH是壹個邊長為c的正方形. 它的面積等於c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴ ∠HGD =
∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o.又∵ ∠GHE = 90o,∴ ∠DHA =
90o+ 90o= 180o.∴ ABCD是壹個邊長為a + b的正方形，它的面積等於(a+b)?.∴(a+b)?=4x1/2ab+c?∴
a?+b?=c?。
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3
證法3（趙爽證明）以a、b
為直角邊（b>a）， 以c為斜 邊作四個全等的直角三角形，則每個直角 1ab2三角形的面積等於. 把這四個直角三角形拼成如圖所示形狀. ∵
RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，
2∴ ABCD是壹個邊長為c的正方形，它的面積等於c.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o.∴
EFGH是壹個邊長為b―a的正方形，它的面積等於(b-a)?.∴(b-a)?=4x1/2ab+c?∴ a?+b?=c?。
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4
證法4（1876年美國總統Garfield證明）以a、b
為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，則每個直角三角1ab形的面積等於2.
把這兩個直角三角形拼成如圖所示形狀，使A、E、B三點在壹條直線上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵
∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴
ΔDEC是壹個等腰直角三角形， 12c2它的面積等於.又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,∴ AD∥BC.∴
ABCD是壹個直角梯形，它的面積等於1/2(a+b)?.∴1/2(a+b)?=2x1/2ab+1/2c?∴ a?+b?=c?。
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5
證法5（梅文鼎證明）做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b
，斜邊長為c. 把它們拼成如圖那樣的壹個多邊形，使D、E、F在壹條直線上. 過C作AC的延長線交DF於點P.∵ D、E、F在壹條直線上,
且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF =
90°，∴ ∠BEG =180o―90o= 90o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是壹個邊長為c的正方形. ∴
∠ABC + ∠CBE = 90o.∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o.
即 ∠CBD= 90o. 又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o， BC = BD = a.∴
BDPC是壹個邊長為a的正方形.同理，HPFG是壹個邊長為b的正方形.設多邊形GHCBE的面積為S，則a?+b?=S+2x1/2ab,c?=S+2x1/2ab∴a?+b?=c?.
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6
證法6（項明達證明）做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a）
，斜邊長為c. 再做壹個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形，使E、A、C三點在壹條直線上. 過點Q作QP∥BC，交AC於點P.
過點B作BM⊥PQ，垂足為M；再過點F作FN⊥PQ，垂足為N. ∵ ∠BCA = 90o，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90o， ∵
BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90o， ∴ BCPM是壹個矩形，即∠MBC = 90o. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA =
90o，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴ ∠QBM = ∠ABC，又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ =
BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可證RtΔQNF ≌ RtΔAEF.從而將問題轉化為證法4（梅文鼎證明）.
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證法7（歐幾裏得證明）做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使H、C、B三點在壹條直線上，連結
BF、CD. 過C作CL⊥DE，交AB於點M，交DE於點L. K∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌
ΔGAD， 12a∵ ΔFAB的面積等於2，ΔGAD的面積等於矩形ADLM的面積的壹半，?∴ 矩形ADLM的面積
=a?同理可證，矩形MLEB的面積 =b?.∵ 正方形ADEB的面積 = 矩形ADLM的面積 + 矩形MLEB的面積∴ c?=a?+b? 。
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證法8（利用相似三角形性質證明）如圖，在RtΔABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，
∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o，∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB.AD∶AC = AC ∶AB，即
AC?=ADXAB.同理可證，ΔCDB ∽ ΔACB，從而有 BC?=BDxAB.∴ AC?+BC?=(AD+DB)xAB=AB?，即
a?+b?=c?、
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證法9（楊作玫證明）做兩個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊長分別為a、b（b>a），斜邊長為c.
再做壹個邊長為c的正方形. 把它們拼成如圖所示的多邊形. 過A作AF⊥AC，AF交GT於F，AF交DT於R. 過B作BP⊥AF，垂足為P.
過D作DE與CB的延長線垂直，垂足為E，DE交AF於H. ∵ ∠BAD = 90o，∠PAC = 90o，∴ ∠DAH = ∠BAC. 又∵
∠DHA = 90o，∠BCA = 90o， AD = AB = c， ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ DH = BC = a，AH =
AC = b由作法可知， PBCA 是壹個矩形，所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =CA = b，AP= a，從而PH =
b―a.∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .∴ DH = DG =
a，∠GDT = ∠HDA .又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH =
90o，∴ DGFH是壹個邊長為a的正方形.∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .∴
TFPB是壹個直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.
用數字表示面積的編號（如圖），則以c為邊長的正方形的面積為c?=S?+S?+S?+S?+S? ①∵
S?+S?+S?=1/2[b+(b-a)]x[a+(b-a)]=b?-1/2abS?=S?+S?∴S?+S?=b?-1/2ab-S=b?-S?-S?
②把②代入①，得?C?=S?+S?+b?-S?-S?+S?+S?=b?+S?+S?=b?+a?∴ a?+b?=c?.
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證法10（李銳證明）設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c.
做三個邊長分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使A、E、G三點在壹條直線上. 用數字表示面積的編號（如圖）.∵ ∠TBE =
∠ABH = 90o， ∴ ∠TBH = ∠ABE. R又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o，BT = BE = b， ∴ RtΔHBT ≌
RtΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT―HT = b―a. 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o， ∠DBC +
∠BHT = ∠TBH + ∠∴ ∠GHF = ∠DBC. ∵ DB = EB―ED = b―a，∠HGF = ∠BDC = 90o，∴
RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 S?=S?.過Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90o，可知 ∠ABE=
∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌
RtΔQAM . 即 S?=S?.由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.∵ ∠AQM +
∠FQM = 90o，∠BAE + ∠CAR = 90o，∠AQM = ∠BAE， ∴ ∠FQM = ∠CAR.又∵ ∠QMF = ∠ARC =
90o，QM = AR = a，∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即S?=S?.C?=S?+S?+S?+S?+S?, a?=S?+S?
b?=S?+S?+S?，又∵
S?=S?，S?=S?，S?=S?，∴a?+b?=S?+S?+S?+S?+S?=S?+S?+S?+S+?S?=c?，即 a?+b?=c?.
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證法11（利用切割線定理證明）在
RtΔABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c. 如圖，以B為圓心a為半徑作圓，交AB及AB的延長線分別於D、E，則BD
= BE = BC = a. 因為∠BCA = 90o，點C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切線.
由切割線定理，得AC?=AExAD=(AB+BE)(AB-BD)?=(c+a)(c-a)= c?-a?，即b?=c?-a?，∴
a?+b?=c?.
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證法12（利用多列米定理證明）在RtΔABC中，設直角邊BC
= a，AC = b，斜邊AB = c（如圖）. 過點A作AD∥CB，過點B作BD∥CA，則ACBD為矩形，矩形ACBD內接於壹個圓.
根據多列米定理，圓內接四邊形對角線的乘積等於兩對邊乘積之和，有ABxDC=ADxBC+ACxBD，∵ AB = DC = c，AD = BC =
a， AC = BD = b，∴ AB?=BC?+AC?，即 c?=a?+b?.
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證法13（作直角三角形的內切圓證明）
在RtΔABC中，設直角邊BC = a，AC = b，斜邊AB = c.
作RtΔABC的內切圓⊙O，切點分別為D、E、F（如圖），設⊙O的半徑為r.∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，∴
AC+BC-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF+BF)= CE+CD= r + r = 2r,即 a+b-c=2r，∴
a+b=2r+c.∴(a+b)?=(2r+c)?即a?+b?+2ab=4(r?+rc)+c?∵ S△ABE=1/2ab，∴
2ab=4S△ABE，又∵ S△ABE=S△AOB+S△BOC+S△AOC
=1/2cr+1/2ar+1/2br=1/2(a+b+c)r=1/2(2r+c+c)r=r?+rc，∴4(r?+rc)=4S△ABC，∴4(r?+rc=
2ab∴a?+b?+2ab=2ab+c?，?∴ a?+b?=c?.
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證法14（利用反證法證明）如圖，在RtΔABC中，設直角邊AC、BC的長度分別為a、b，斜邊AB的長為c，過點C作CD⊥AB，垂足是D.假設a?+b?不等於c?.，即假設
AC?+BC?不等於AB?，則由 AB?=ABxAB=AB(AD+BD)=ABxAD+ABxBD22可知 AC?不等於ABxAD，或者
BC?不等於ABxBD. 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.在ΔADC和ΔACB中，∵ ∠A = ∠A， ∴ 若
AD：AC≠AC：AB，則∠ADC≠∠ACB. 在ΔCDB和ΔACB中，∵ ∠B = ∠B，∴ 若BD：BC≠BC：AB，則
∠CDB≠∠ACB.又∵ ∠ACB = 90o，∴ ∠ADC≠90o，∠CDB≠90o.這與作法CD⊥AB矛盾.
所以，AC?+BC?=AB?的假設不能成立.∴ a?+b?=c?
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證法15（辛蔔松證明）設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b，斜邊的長為c.
作邊長是a+b的正方形ABCD.?把正方形ABCD劃分成上方左圖所示的幾個部分，則正方形ABCD(a+b)=a?+b?+2ab；把正方形ABCD劃分成上方右圖所示的幾個的面積為C部分，則正方形ABCD的面積為∴
(a+b)?=4x1/2ab+c?=2ab+c?,∴ a?+b?+2ab=2ab+c?.∴a?+b?=c?.
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證法16（陳傑證明）設直角三角形兩直角邊的長分別為a、b（b>a），斜邊的長為c.
做兩個邊長分別為a、b的正方形（b>a），把它們拼成如圖所示形狀，使E、H、M三點在壹條直線上. 用數字表示面積的編號（如圖）. 在EH
= b上截取ED = a，連結DA、DC，則 AD = c.?∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a， ∴(b+a)
DM = EM―ED = (b+a)―a = b.?又∵ ∠CMD = 90o，CM = a， ∠AED = 90o， AE = b，∴
RtΔAED ≌ RtΔDMC.∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o，
M∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o，∴ ∠ADC = 90o.∴
作AB∥DC，CB∥DA，則ABCD是壹個邊長為c的正方形.∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90o，∴
∠BAF=∠DAE.連結FB，在ΔABF和ΔADE中，∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，∴ ΔABF ≌
ΔADE.∴ ∠AFB = ∠AED = 90o，BF = DE = a.∴ 點B、F、G、H在壹條直線上.在RtΔABF和RtΔBCG中，∵
AB = BC = c，BF = CG = a，∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG .?∵c?=S?+S?+S?+S? b?=S?+S?+S?
a?=S?+S?S?=S?=S?=S?+S?，?∴a?+b?=S?+S?+S?+S?+S?=S?+S?+S?+(S?+S?)=S?+S?+S?+S=c?∴
a?+b?=c?.
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