/BigData_Mining/article/details/81092750
壹、概述
1.時間序列的平穩性
這樣的時間序列被稱為平穩時間序列。也可以認為，如果壹個時間序列無明顯的上升或下降趨勢，各觀察值圍繞其均值上下波動，這個均值相對於時間來說是壹個常數，那麽時間序列為平穩序列（弱平穩（Weak stationarity））。
事實上，有兩種關於平穩的定義，還有壹種強平穩過程：
強平穩過程（Strict stationarity):對於所有可能的n，所有可能的t1,t2,…,tnt1,t2,…,tn，如果所有可能的Zt1,Zt2,…,ZtnZt1,Zt2,…,Ztn的聯合分布與Zt1?k,Zt2?k,…,Ztn?kZt1?k,Zt2?k,…,Ztn?k相同時，稱其為強平穩。
兩種平穩過程並沒有包含關系，弱平穩不壹定是強平穩，強平穩也不壹定是弱平穩。強平穩是事實上的平穩，而弱平穩是統計量在觀測意義上的平穩（均值、方差）。
平穩的基本思想是:時間序列的行為並不隨時間改變。平穩性刻畫的是時間序列的統計性質關於時間平移的不變性。我們研究時間序列很重要的壹個出發點 是希望通過時間序列的歷史數據來得到其未來的壹些預測，換言之，我們希望時間序列在歷史數據上的壹些性質，在將來保持不變，這就是時間平移的不變性。反之，如果時間序列不是平穩的，由歷史數據得到的統計性質對未來預測毫無意義。
2.時間序列的組成
每個時間序列的主要組成部分:
時序檢測去除噪音的方法有兩種，移動平均法（MA）和指數平滑，ARIMA采用的就是移動平均MA
1.移動平均法
它的基本原理：對任意奇數個連續的點，將它們最中間的點的值替換為其他點的平均值，假設{xixi}表示數據點，位置i的平滑值為sisi,則有：
si=12k+1∑j=?kkxi+j
si=12k+1∑j=?kkxi+j
這個簡單的方法存在很嚴重的問題，這和圖像處理中的均值濾波是類似的（只不過這裏是壹維的），采用這樣簡單粗暴的平滑處理會導致數據變“模糊”，當壹個尖峰進入平滑窗口時，當前的數據就會被這個尖峰突然扭曲，直到異常值離開平滑窗口。即因為噪音數據，原始數據丟失了細節。在圖像處理中，我們采用高斯濾波來解決這壹問題，我們的平滑窗口是帶權值的，越靠近中心數據的權重越大，越靠近平滑窗口邊緣的點權重越小。這裏同樣適用，我們通過使用加權移動平均法，公式如下：
si=∑j=?kkwjxi+j，其中∑j=?kkwj=1
si=∑j=?kkwjxi+j，其中∑j=?kkwj=1
這裏的wjwj是權重因數。使用高斯函數來生成權重因數公式如下：
f(x,σ)=12πσ2√exp(?12(xσ)2)
f(x,σ)=12πσ2exp(?12(xσ)2)
參數σσ決定曲線的寬度，當x大於3.5σσ時函數值為0。因此f(x,1)可以用來生成9點的權重因數，只要取f(x,1)上[-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4]這幾個位置的函數值即可。把σσ設為2就能得到15點的權重因數，即x為-7到+7之間的所有整數時的取值，以此類推。
移動平均法存在很多問題：
假設p=1,q=2,且進行了壹階差分後，序列平穩了,那麽：
X^t?Xt?1=?1(Xt?1?Xt?2)+θ1εt?1+θ2εt?2
X^t?Xt?1=?1(Xt?1?Xt?2)+θ1εt?1+θ2εt?2
即：
X^t=Xt?1+?1(Xt?1?Xt?2)+θ1εt?1+θ2εt?2
X^t=Xt?1+?1(Xt?1?Xt?2)+θ1εt?1+θ2εt?2
其中，X tX t為預測值。ARIMA(p,d,q)模型可定義為：
(1?∑i=1p?iLi)(1?L)dXt=(1+∑i=1qθiLi)εt
(1?∑i=1p?iLi)(1?L)dXt=(1+∑i=1qθiLi)εt
其中L是滯後算子（Lag operator),d∈Z,d>0。∈Z,d>0。
ARIMA模型運用有壹個較為通用的流程，如下所示:
1.根據時間序列的散點圖、自相關函數和偏自相關函數圖識別其平穩性。
2.對非平穩的時間序列數據進行平穩化處理。直到處理後的自相關函數和偏自相關函數的數值非顯著非零。
3.根據所識別出來的特征建立相應的時間序列模型。平穩化處理後，若偏自相關函數是截尾的，而自相關函數是拖尾的，則建立AR模型；若偏自相關函數是拖尾的，而自相關函數是截尾的，則建立MA模型；若偏自相關函數和自相關函數均是拖尾的，則序列適合ARMA模型。
4.參數估計，檢驗是否具有統計意義。
5.假設檢驗，判斷（診斷）殘差序列是否為白噪聲序列。
6.利用已通過檢驗的模型進行預測。
四：判斷平穩性
/bi_hu_man_wu/article/details/64918870
五：非平穩序列的平穩化
（1）去除趨勢（針對確定趨勢）
思路：yt=Tt+xtyt=Tt+xt其中TtTt是趨勢xtxt平穩，我們主要找到趨勢，去掉便可。通常我們采用擬合趨勢，得到趨勢的表達式，若去掉後仍不平穩，則是擬合錯誤。（找尋趨勢的部分可參見下面的趨勢分析-擬合與平滑）
（2）差分
壹步差分Δy=yt?yt?1=(I?B)ytΔy=yt?yt?1=(I?B)yt
s步差分Δsy=(I?Bs)ytΔsy=(I?Bs)yt
比如周數據，可以選擇s=7，若壹次差分後得到白噪聲就沒有意義了，這時可以選擇分數差分。但差分會使的方差變大。
（3）變換
對於方差變化的序列，可以選擇log（）變換，去除指數趨勢。
壹般情況可以考慮box-cox變換。
六：案例
/Fredric_2014/article/details/85699116
/Fredric_2014/article/details/85340339
/weixin_41988628/article/details/83149849
七。討論與分析
由於良好的統計特性，ARIMA模型是應用最廣泛的時間序列模型，各種指數平滑模型都可以用ARIMA模型來實現。即通過Holter-winters建立的模型，用ARIMA同樣可以得到。即便ARIMA非常靈活，可以建立各種時間序列模型（AR，MA，ARMA）但是ARIMA也有局限性，最主要的局限在於ARIMA只能建立線性的模型，而現實世界中純線性模型往往不能令人滿意