壹 區間套定理與柯西收斂準則
定義1 區間套: 設 是壹閉區間序列. 若滿足條件
ⅰ） 對 , 有 , 即 , 亦即
後壹個閉區間包含在前壹個閉區間中;
ⅱ） . 即當 時區間長度趨於零.
則稱該閉區間序列為閉區間套, 簡稱為區間套 .
區間套還可表達為:
.
我們要提請大家註意的是, 這裏涉及兩個數列 和 , 其中 遞增, 遞減.
例如 和 都是區間套. 但 、
和 都不是.
區間套定理
Th7.1(區間套定理) 設 是壹閉區間套. 則在實數系中存在唯壹的點 , 使對 有 . 簡言之, 區間套必有唯壹公***點.
二 聚點定理與有限覆蓋定理
定義 設 是無窮點集. 若在點 (未必屬於 )的任何鄰域內有 的無窮多個點, 則稱點 為 的壹個聚點.
數集 = 有唯壹聚點 , 但 ;
開區間 的全體聚點之集是閉區間 ;
設 是 中全體有理數所成之集, 易見 的聚點集是閉區間 .
Th 7.2 ( Weierstrass ) 任壹有界數列必有收斂子列.
2. 聚點原理 : Weierstrass 聚點原理.
Th 6 每壹個有界無窮點集必有聚點.
三 實數完備性基本訂立的等價性
證明若幹個命題等價的壹般方法.
本節證明七個實數基本定理等價性的路線 : 證明按以下三條路線進行:
Ⅰ: 確界原理 單調有界原理 區間套定理 Cauchy收斂準則
確界原理 ;
Ⅱ: 區間套定理 致密性定理 Cauchy收斂準則 ;
Ⅲ: 區間套定理 Heine–Borel 有限復蓋定理 區間套定理 .
壹. “Ⅰ” 的證明: (“確界原理 單調有界原理”已證明過 ).
用“確界原理”證明“單調有界原理”:
Th 2 單調有界數列必收斂 .
2. 用“單調有界原理”證明“區間套定理”:
Th 3 設 是壹閉區間套. 則存在唯壹的點 ,使對 有 .
推論1 若 是區間套 確定的公***點, 則對 ,
當 時, 總有 .
推論2 若 是區間套 確定的公***點, 則有
↗ , ↘ , .
3. 用“區間套定理”證明“Cauchy收斂準則”:
Th 4 數列 收斂 是Cauchy列.
引理 Cauchy列是有界列. ( 證 )
Th 4 的證明: ( 只證充分性 ) 教科書P217—218上的證明留作閱讀 . 現采用三等分的方法證明, 該證法比較直觀.
用“Cauchy收斂準則” 證明“確界原理” ：
Th 1 非空有上界數集必有上確界 ；非空有下界數集必有下確界 .
證 （只證“非空有上界數集必有上確界”）設 為非空有上界數集 . 當 為有限集時 , 顯然有上確界 .下設 為無限集, 取 不是 的上界, 為 的上界. 對分區間 , 取 , 使 不是 的上界, 為 的上界. 依此得閉區間列 . 驗證 為Cauchy列, 由Cauchy收斂準則, 收斂; 同理 收斂. 易見 ↘. 設 ↘ .有 ↗ .
下證 .用反證法驗證 的上界性和最小性.
“Ⅱ” 的證明:
用“區間套定理”證明“致密性定理”:
Th 5 ( Weierstrass ) 任壹有界數列必有收斂子列.
證 （ 突出子列抽取技巧 ）
Th 6 每壹個有界無窮點集必有聚點.
2．用“致密性定理” 證明“Cauchy收斂準則” ：
Th 4 數列 收斂 是Cauchy列.
證 （ 只證充分性 ）證明思路 ：Cauchy列有界 有收斂子列 驗證收斂子列的極限即為 的極限.
“Ⅲ” 的證明:
用“區間套定理”證明“Heine–Borel 有限復蓋定理”:
用“Heine–Borel 有限復蓋定理” 證明“區間套定理”: