傅裏葉變換，最牛的算法之壹，廣泛應用於物理學、信號處理、概率、統計、密碼學、聲學、光學等領域。有人說，看懂了傅裏葉，也就看懂了世界，能改變壹個人對世界的認知。
這裏我們不深究其中，無數學公式推導，僅為大眾簡單科普壹下傅裏葉變換是什麽。傅裏葉變換最精彩之處就是能夠將信號在時域與頻域之間進行變換，因此我們先解釋壹下什麽是時域和頻域。
①時域
時域（Time domain）是描述數學函數或物理信號對時間的關系，例如壹個信號的時域波形可以表達信號隨著時間的變化。比如下面這個時域圖，1秒內反復振動了5次，頻率是5，最大振幅是1，整圖描述的是每壹個時刻的信號值：
②頻域
頻域（frequency domain）是描述信號在頻率方面特性時用到的壹種坐標系，頻域圖顯示了在壹個頻率範圍內每個給定頻帶內的信號量。上面的時域圖用頻域表示，則是下圖。橫坐標表示頻率，縱坐標表示振幅。這個圖表示：這裏面有壹段波，頻率為5，振幅為1。
另外，頻域表示還可以包括每個正弦曲線的相位，以便能夠重新組合頻率分量以恢復原始時間信號。不同相位決定了波的位置，從頻域信息復原到時域信息，相位非常重要。
紅色和藍色正弦波具有θ的相位差
傅裏葉變換
先亮壹下通用傅裏葉公式。（“公式恐懼癥”請閉眼滑過...)
傅裏葉變換，從定義上講，表示能將滿足壹定條件的某個函數表示成三角函數或者它們的積分的線性組合。簡單來說，它貫穿了時域與頻域，能夠將任何形式的周期性信號無限拆解，分為多個有規律的簡單正弦波信號。（正弦波是壹個圓周運動在壹條直線上的投影，所以頻域的基本單元也可以理解為壹個始終在旋轉的圓。）
傅裏葉級數方波圓動畫
例如下面這種也是有規律的波形，可以拆解為若幹組波的疊加。
也就是說，傅裏葉變換能夠將壹段復雜的波，分解成多段規律的、單純波的集合。然後，對這些規律的波從頻域進行描述，就有了整段波的譜線圖。
如下圖，時域觀測的方波信號是若幹個正弦信號的疊加，當以時間為橫軸時可以看到這些信號累加後得到的時域圖像，而換壹個角度，當以頻率為坐標時，則得到的是壹個個不同頻率的脈沖。信號從時域到頻域的轉換，則是傅裏葉正變換，從頻率到時域的表示則是傅裏葉逆變換。因此，時域和頻域是以完全不同的角度表示相同的信息。（突然想吟詩壹首：橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同...）
很多在時域看似不可能做到的操作，在頻域卻很容易，這就是需要傅裏葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除壹些特定的頻率成分，這在工程上稱為濾波，是信號處理最重要的概念之壹，只有在頻域才能輕松的做到。例如在圖像處理中，低頻項決定了圖像的整體形狀，高頻項則提供了細節，通過控制濾波器可以過濾掉不同頻率的信息，從而決定輸出的圖像效果。