泛函分析，它綜合運用函數論，幾何學，現代數學的觀點來研究無限維向量空間上的泛函，算子和極限理論。它可以看作無限維向量空間的解析幾何及數學分析。泛函分析在數學物理方程，概率論，計算數學等分科中都有應用，也是研究具有無限個自由度的物理系統的數學工具。
泛函分析的基本定理是罕-巴拿赫定理、選擇公理（Axiom of Choice）弱於布倫素理想定理（Boolean prime ideal theorem）、佐恩引理、壓縮映射定理。
擴展資料：
泛函分析是20世紀30年代形成的。從變分法、微分方程、積分方程、函數論以及量子物理等的研究中發展起來的，它運用幾何學、代數學的觀點和方法研究分析學的課題，可看作無限維的分析學。半個多世紀來，壹方面它不斷以其他眾多學科所提供的素材來提取自己研究的對象和某些研究手段，並形成了自己的許多重要分支，例如算子譜理論、巴拿赫代數、拓撲線性空間（也稱拓撲向量空間）理論、廣義函數論等等。
另壹方面，它也強有力地推動著其他不少分析學科的發展。它在微分方程、概率論、函數論、連續介質力學、量子物理、計算數學、控制論、最優化理論等學科中都有重要的應用，還是建立群上調和分析理論的基本工具，也是研究無限個自由度物理系統的重要而自然的工具之壹。今天，它的觀點和方法已經滲入到不少工程技術性的學科之中，已成為近代分析的基礎之壹。
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